第9讲 子群与生成 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第10讲 循环群与阶 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第11讲 陪集与指数 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第12讲 拉格朗日定理 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第13讲 共轭与正规子群 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 1 2 3 4
![子群 • 定义 ○ 群 (G,∗) 的一个子群是 H⊆G ○ 并且 ∗ 限定到 H 上，使得 H 称为一个群 ○ 记作 H≤G ○ 若 H 是 G 的真子群，则记作 H<G • 例1 ○ (Z+) ○ 令 nZ={kn|k∈Z ○ 则 (nZ+) 是 (Z+) 的子群 • 例2 ○ S_n=({[n]→[n] 的双射},∘) ○ 令 H={f∈S_n |f(n)=n} 则 H<S_n ○ 事实上，H 和 S_(n−1) 是一样的群 • 例3 ○ (D_2n,∘) ○ D_2n 中有两种对称，轴对称和中心旋转对称 ○ 只考虑中心旋转对称，我们可以得到一个群 (C_n,∘) ○ 则 (C_n,∘) 是 (D_2n,∘) 的子群 • 例4 ○ 对于任意群 G，{e}≤G ○ 即平凡群是任何群的子群 ○ 正如空集是任意集合的子集 子群的性质 • 定理1：如果 H≤G，那么 H 的恒等元素也是 G 的恒等元素 ○ 假设 H 的恒等元素为 e^′，那么 (e^′ )^2=e^′ ○ 〖(e^′ )^(−1) (e^′ )〗^2=(e^′ )^(−1) e^′ ○ 即 e^′=e • 定理2：如果 H≤G, a∈H，那么 a 在 H 里的逆等于 a 在 G 里的逆 ○ 分别把 a 在 H,G 里的逆记为 b^′,b ○ 那么有 b^′=b^′ e=b^′ (ab)=(b^′ a)b=eb=b 生成 • 定义 ○ 令 G 为任意群，S 为 G 的一个子集 ○ 定义由 S 生成的子群为 ⟨S⟩=⋂8_(S≤H≤G)▒H ○ 我们把 S 称为 ⟨S⟩ 的生成集合 ○ 把 s∈S 称为 ⟨S⟩ 的生成元素 • 定理 ○ 命题 § 当 {H_α |a∈I} 是一个由 G 里的子群所组成的集合 § 那么 H=⋂8_(α∈I)▒H_α 也是 G 的子群 ○ 证明 § 封闭性（∀a,b∈H, a∗b∈H） □ 取任意 a,b∈H □ 根据交集的定义，a,b∈H_α,∀α∈I □ 根据子群的封闭性 a∗b∈H_α, ∀α∈I □ 根据交集的定义，a∗b∈H § 结合律 □ 不需要验证，直接从 G 得到 § 存在恒等元素 □ e∈H_α, ∀α □ ⇒e∈H § 存在逆 □ 对于任意 a∈H □ a∈H_α, ∀α □ ⇒a^(−1)∈H_α, ∀α □ ⇒a^(−1)∈H § 故H=⋂8_(α∈I)▒H_α 是 G 的子群 • 练习 ○ 对于 (Z+)，问以下子集生成的子群是什么？ § {0} § {8} § {8,9} ○ 证明：如果 S={n_i }⊆Z，那么 ⟨S⟩=⟨{所有 n_i 的最大公约数}⟩ ○ 证明：如果 H⊆G 那么 H≤G 当且仅当 § H 不为空集 § 对于任意 a,b∈H, a^(−1),b^(−1)∈H ○ 证明：如果 G 是一个有限群，H⊆G 那么 H≤G 当且仅当 § H≠∅ § ∀a,b∈H, a∗b∈H](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a5629b6cdfc9.png)
![陪集 • 定义 ○ 令 G 为任意群，H 为 G 的子群 ○ 在 G 上面有两个等价关系 § a ~┬L b 当且仅当 a^(−1) b∈H § a ~┬R b 当且仅当 ab^(−1)∈H ○ ~┬L 的等价类被称为 H 在 G 里的左陪集，记之为 aH=[a] ○ ~┬R 的等价类被称为 H 在 G 里的右陪集，记之为 Ha=[a] • 定理：~┬L, ~┬R 都是 G 上的等价关系 ○ 证明以 ~┬L 为例 ○ 自反性 § ∀a∈G, a^(−1) a=e∈H § ⇒a ~┬L a ○ 对称性 § 假设 a ~┬L b⇒a^(−1) b∈H § （a^(−1) b）^(−1)=b^(−1) a∈H § ⇒b ~┬L a ○ 传递性 § 假设 a ~┬L b, b ~┬L c § ⇒a^(−1) b∈H, b^(−1) c∈H § ⇒(a^(−1) b)(b^(−1) c)=a^(−1) (bb^(−1) )c=a^(−1) ec=a^(−1) c∈H § ⇒a ~┬L c ○ 故 ~┬L 是定义在 G 上的等价关系 • 定理：aH={ah|h∈H}, Ha={ha|h∈H} ○ 证明以左陪集为例 ○ 先证 aH⊆{ahhH} § 令 b∈aH={x|a ~┬L x} § 即 a ~┬L b § ⇒a^(−1) b∈H § 令 a^(−1) b=h § ⇒a(a^(−1) b)=ah § ⇒b=ah § 故 aH⊆{ahhH} ○ 再证 {ahhH}⊆aH § ⇔a ~┬L ah § ⇔a^(−1) (ah∈H § ⇔h∈H § 显然为真 ○ 故 aH={ahhH} • 记号 ○ 如果 S,S^′⊆G，一般定义 SS^′={ss^′ |s∈S,s^′∈S′} ○ 那么 aH={a}H, Ha=H{a} • 定理：|aH|=|H|=|Ha| ○ 证明以左陪集为例 ○ 要证明 |aH|=|H| 即证 aH 与 H 之间存在双射 ○ 构造 f:H→aH, h↦ah ○ 根据 aH 的定义，可以看出 f 是一个满射 ○ 需证 f 是一个单射 ○ 假设 f(h=f(h) ○ 根据定义 ah=ah′ ○ ⇒a^(−1) ah=a^(−1) ah′ ○ ⇒h=h′ ○ 即 f 是一个单射 • 定理：对于任意子集 S⊆G，|aS|=|S|=|Sa| 指数 • 定义 ○ 如果一个子群 H≤G 只有有限多个左陪集/右陪集 ○ 那么 H 的指数为左陪集/右陪集的数目 ○ 记作 |G:H| • 定理：对于 H≤G，H 的左陪集和右陪集有着一一对应 ○ 令 L={H 的左陪集}，R={H 的右陪集} ○ 构造 f:L→R, aH↦〖Ha〗^(−1) ○ 证明 f 定义良好 § 假设 aH=bH § 则 a ~┬L b⇒a^(−1) b∈H § a^(−1) (b^(−1) )^(−1)∈H § ⇒a^(−1) ~┬R b^(−1) § 故 〖Ha〗^(−1)=Hb^(−1) § 即 f 定义良好 ○ 明显地 f 是一个满射 ○ 要证明 f 是一个单射 § 假设 f(a)=f(b), Ha^(−1)=Hb^(−1) § ⇒a^(−1) ~┬R b^(−1) § ⇒a^(−1) (b^(−1) )^(−1)∈H § ⇒a^(−1) b∈H § ⇒a ~┬L b § 所以 aH=bH § 即 f 是一个单射 ○ 所以 f 是一个双射 • 练习 ○ 请算出 |Z:nZ|](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562a0e7192c.png)
![拉格朗日定理 • 定理： ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，H≤G § 那么 |G| 能被 |H| 整除 ○ 证明 § 在 H≤G 中构造 ~┬L § 对 G 进行等价类分割，有 § G=⋃8_(a∈G)▒aH § 又知道 aH 之间互不相交，|aH|=|H| § 可以得到 |G|=∑_(a∈G)▒|aH| =|H| 的倍数 • 推论：如果 H≤G，G 是有限群，那么 |G|=|H||G:H| ○ 证明略 • 推论 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，而且 |G|=p 是一个质数 § 那么 G 只有两个子群：平凡群和 G § 并且 G 是一个 p 阶循环群 ○ 证明 § |G|=|H||G:H|=p § 如果 |H|=p, |G:H|=1⇒H=G § 如果 |H|=1, |G:H|=p⇒H={e} § 让 x 为 G 里的任意非恒等元素 G=⟨x⟩ § 故 G 是一个 p 阶循环群 • 推论 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，那么对于任意 a∈G § 总有 o(a) 整除 |G|，并且 a^|G| =e ○ 证明 § 构造循环群 C=⟨a⟩，则 C≤G § 所以 |C|=o(a) 整除 |G| § 记为 |G|=o(a)⋅n § a^|G| =a^(o(a)⋅n)=e^n=e • 推论 ○ 命题 § 如果 p 是一个质数，a 是一个整数 § 那么 a^p≡a mod p ○ 证明 § 如果 p 整除 a，命题显然成立 § 如果 p 不能整除 a § 构造 Z/p 的子集 (Zp)^∗={1,2,…,p−1} § 那么 [a]∈(Zp)^∗ § 定义乘法 [a]×[b]=[a×b] § ((Zp)^∗,×) 构成一个有限群，且阶为 p−1 § 所以 [a]^(p−1)=[1] § ⇒[a]^p=[a] § 即 a^p≡a mod p ○ 注：又叫费马小定理 • 推论 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，H,K 是 G 的子群 § HK={h�|hH,k∈K} § 那么 |HK|=|H||K|/|H∩K| ○ 证明 § 首先 HK=⋃8_(hH)▒h § |h|=|K|⇒|HK|/|K| 是一个整数 § 我们要找出 hK 重复了多少次 § 观察到 hK=h′ K 当且仅当 h ~┬L h′⟺h(−1) h′∈K § 但 h(−1) h∈H，所以 h(−1) h∈H∩K § 所以 h(H∩K)=h′ (H∩K) 是 H 里的同一个左陪集 § 所以这个整数即 |H:H∩K|=|H|/|H∩K| § ⇒|HK|/|K| =|H|/|H∩K| § 即 |HK|=|H||K|/|H∩K|](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562a24c0e75.png)
![共轭 • 定义 ○ 当 G 是一个群，a,b∈G ○ a 与 b 共轭当且仅当存在 g∈G，使得 a=〖gbg〗^(−1) • 定理：共轭是一个等价关系 ○ 定义 a~b 当且仅当 a 与 b 共轭 ○ 自反性 § 注意到 a=〖aaa〗^(−1) § 所以 a~a ○ 对称性 § 如果 a~b⇒a=〖gbg〗^(−1) § g^(−1) ag=g^(−1) (〖gbg〗^(−1) )g § ⇒g^(−1) a(g^(−1) )^(−1)=b § 即 b~a ○ 传递性 § 如果 a~b, b~c § 可以找到 g,h 使得 a=〖gbg〗^(−1), b=hch(−1) § a=〖gh�h^(−1) g^(−1) § a=(ghc(gh^(−1) § ⇒a~c ○ 所以共轭是一个等价关系 • 共轭类 ○ 共轭在 G 上有等价类分割 ○ 定义共轭对应的等价类为共轭类 • 子集的共轭 ○ 令 S⊆G ○ 定义 S 在元素 g∈G 下的共轭为集合 〖gSg〗^(−1)={gsg^(−1) |s∈S} • 定理：|gSg^(−1) |=|S| ○ |S|=|gS|=|gSg^(−1) | • 共轭子群 ○ 当 H≤G，我们称 〖gHg〗^(−1) 为 H 的共轭子群 • 练习 ○ 证明 〖gHg〗^(−1) 的子群 ○ 即检验对乘法的封闭性和群的三个条件 正规子群 • 定义 ○ 一个 G 的子群 N 是正规子群当且仅当 N 的共轭子群只有一个 ○ 记作 N⊴G ○ 注：N=〖eNe〗^(−1) 恒成立，即 N 总是 N 自身的共轭子群 • 定理 ○ 下面的命题等价 1. N 是 G 的正规子群，即 N⊴G 2. N 里面的元素的共轭都在 N 里，即 ∀a∈N, 〖gag〗^(−1)∈N 3. N 是一个共轭类的并集 4. 对于任意元素 g∈G， gN=Ng ○ 证明 1⟺2 § 根据共轭的定义，∀a∈N, 〖gag〗^(−1)∈gNg^(−1)=N § 反过来如果 N 里的每个元素在 g 的共轭都在 N 里的话 § 那么 〖gNg〗^(−1)≤N § N=g^(−1) 〖gNg〗^(−1) (g^(−1) )^(−1)≤〖gNg〗^(−1)≤N § 故 N 的共轭子群只有 N 一个 ○ 证明 2⟺3 § 3⇒2 显然 § 以下证明 2⇒3 § 令 a∈N，那么 [a]⊆N § ⇒⋃8_(a∈N)▒[a] ⊆N § 另一方面，每个元素都会出现在它的共轭类内 § ⇒N⊆⋃8_(a∈N)▒[a] § 故 N=⋃8_(a∈N)▒[a] ○ 证明 1⟺4 § 〖gNg〗^(−1)=N⟺gN=Ng • 定理：如果 H≤G，N⊴G，那么 HN 以及 NH 都是 G 的子群 ○ 证明以 HN 为例 ○ 封闭性 § 让 hn, h′ n′ 为 HN 里的任意元素 § 考虑 （h(′−1) ）n（h(′−1) ）^(−1)=（h(′−1) ）nh′ § 因为 N 是一个正规子群，令 n^′′=（h(′−1) ）nh′∈N § 同时左乘 h′ 得 h′ n^′′=h′（h(′−1) ）nh′ § ⇒〖nh^′=h′ n^′′ § 考虑 (h�)(h′ n^′ )=h(nh′ ) n^′=h(h′ n^′′ ) n^′=(h^′ )(n^′′ n′)∈HN § 所以 HN 在乘法下封闭 ○ 结合律 § 直接从 G 得到 ○ 恒等元素 § e=e⋅e∈HN ○ 逆元素 § ∀hn∈HN § (h�)(h′ n^′ )=(h^′ )(n^′′ n′) § 令 h′=h(−1), n^′=(n^′′ )^(−1)=（(h′ )^(−1) nh′ ）^(−1) § 则 (h�)(h′ n^′ )=e，且可以验证 h′ n^′∈HN • 简单群 ○ 一个群 G 是一个简单群当且仅当 G 里不存在非平凡的正规真子群 • 练习 ○ 请证明指数为 2 的子群都是正规子群 ○ 请证明阿贝尔群的任意子群都是正规子群 ○ 请证明如果 |G|=p 是一个质数那么 G 是一个简单群](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562a3cf1910.png)
