第21讲 类等式定理 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第22讲 n次对称群 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第23讲 自同构 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第24讲 Z/n Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第25讲 半直积 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 1 … 42 43 44 45 46 … 87
![类等式定理 • 复习 ○ 对于有限群 G，令 a∈G，则 |[a]|=|G:C_G (a)| ○ Z(G)=C_G (G) • 类等式定理 ○ 如果 G 是一个有限群 ○ 从每一个包含元素个数大于 1 的等价类里 ○ 取一个元素 g_i (1≤i≤n) ○ 那么总有 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| • 证明 ○ G=⋃8_(g∈G)▒[g] ○ 已知 g∈Z(G) 当且仅当 |[g]|=1 ○ 故 |Z(G)| 统计了所有 |[g]|=1 的个数 ○ 又知 |G:C_G (g_i )|=|[g_i ]| ○ 故∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 统计了所有 |[g]|1 的个数 • 推论 ○ 命题 § 如果 |G|=p^m，其中 p 是质数，m≥1 § 那么 |Z(G)|1 即 G 的中心不是平凡子群 ○ 证明 § 由用类等式定理 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| § 观察得到 |G|=p^m 能被 p 整除 § 因为 g_i 不在 G 的中心里，可以证明 G § 事实上若 C_G (g_i )=G 则 g_i∈Z(G) § 根据拉格朗日定理，|G:C_G (g_i )| 能被 p 整除 § 等式 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 中 § |G|, ∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 均能被 p 整除 § 所以 |Z(G)| 也必须能被 p 整除 § 故 |Z(G)|1](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562d1e1e36c.png)
![置换与 n 次对称群 • 定义 ○ 令 [n]={1,2,…,n} ○ 定义 S_n={所有从 [n] 到 [n] 的双射} ○ 则 (S_n,∘) 是一个群，叫做 n 次对称群 ○ 对于 σ∈S_n，我们可以表示为 ○ (■8(1&2&3&…&n@↓&↓&↓&…&↓@σ(1)&σ(2)&σ(3)&…&σ(n) )) ○ S_n 的元素也被称为置换 ○ 所以 n 次对称群也被称为 n 次置换群 • 凯莱定理 ○ 命题 § 对于任意有限群 G § 存在正整数 n 使得 G 同构与 S_n 的一个子群 ○ 证明 § 可以找到一个双射 f:G→[|G|] § 定义 F:G→S_[|G|] , g↦f∘λ_g∘f^(−1) § 可以证明 F 是一个同态 § 根据群同构第一定理 § F(G)≤S_[|G|] § G\/kerf≅F(G) § 足够证明 kerf=[e] § 假设 g∈kerf，即 ∀x, f∘λ_g∘f^(−1)=x § ⟺λ_g 是恒等映射 § ⇒g=e § 故 kerf=[e] 轮换与对换 • 定义 ○ 在 [n] 中选 m 个不同的元素，m≤n ○ 选定 a_1,a_2,…,a_m ○ 定义 σ=(a_1 a_2 … a_m ) 为一个轮换，若 ○ σ(a_1 )=a_2, σ(a_2 )=a_3,…,σ(a_m )=a_1 ○ 特别地，当 σ=(a b) 时，我们称其为对换 • 例子 ○ 以 [4]={1,2,3,4} 为例 ○ 令轮换 σ=(1 2 3)，则有 ○ σ(1)=2, σ(2)=3, σ(3)=1, σ(4)=4 ○ 令对换 τ=(2 4)，则有 ○ τ(1)=1, τ(2)=4, τ(3)=3, τ(4)=1 • 阶 ○ 轮换 σ=(a_1 a_2 … a_m ) 的阶为 m ○ 对换 τ=(a b) 的阶为 2 • 定理 ○ 如果 σ=(a_1 a_2 … a_m ), τ=(b_1 b_2…b_l ) ○ 并且 a_i≠b_j ∀1≤i≤m,1≤j≤m ○ 那么 σ 与 τ 交换，即 στ=τσ • 定理：每一个置换都可以写成轮换的乘积 ○ 让 σ∈S_n ○ 考虑 H=⟨σ⟩↷[n]，并把 n 分为若干个轨道 ○ 则每一个轨道都对应着一个轮换 σ_i ○ 则 σ=σ_1 σ_2…σ_k • 推论 ○ 如果 σ=(a_1 a_2…a_m )(b_1 b_2…b_l )…(c_1 c_2…c_k ) ○ 则 σ 的阶是 m,l,…,k 的最小公倍数 • 定理：每个轮换都是对换的乘积 ○ (a_1 a_2…a_k )=(a_1 a_k )(a_1 a_(k−1) )…(a_1 a_2 ) • 推论：每个置换都是对换的乘积 ○ 因为每一个置换都可以写成轮换的乘积 ○ 且每个轮换都是对换的乘积 符号 • 定义 ○ 定义 Δ=∏8_(i≤ij≤n)▒(x_i−x_j ) ○ 对于 σ∈S_n 定义 σΔ=∏8_(i≤ij≤n)▒(x_σ(i) −x_σ(j) ) ○ 观察 Δ, σΔ 发现每一对 x_i,x_j 都会出现在两式中 ○ 只是减法的顺序可能会不同 ○ 我们将 σΔ/Δ 定义为 σ 的符号，记为sgnσ=σΔ/Δ • 练习 ○ 若 σ,τ∈S_n 是两个置换，那么 sgnσ⋅sgnτ=sgn(στ) ○ 证明 ({±1},×) 形成一个群 • 符号映射 ○ sgn 是一个从 S_n 到 {±1} 的群同态，又叫做符号映射 • 奇置换与偶置换 ○ 我们称 sgn=1 的置换为偶置换 ○ 我们称 sgn=−1 的置换为奇置换 • n 次交错群 ○ 我们把 A_n={偶置换}⊲S_n 叫做 n 次交错群 ○ 且有 |S_n:A_n |=2 • 练习 ○ 所有的对换都是奇置换 ○ 一个轮换 (a_1 a_2…a_k ) 是一个偶置换当且仅当 k 是奇数 相邻对换 • 定义 ○ 对于 1≤in−1 ○ 定义对换 s_i=(i (i+1)) 为相邻对换 • 练习：证明相邻对换的以下性质 ○ s_i^2=e ○ s_i s_(i+1 ) s_i=s_(i+1 ) ss_(i+1) ○ 如果 |i−j|≥2，那么 s_i s_j=s_j s_i • 定理：任何置换 σ∈S_n 都可以写成相邻对换的乘积 ○ 足够证明对于 σ 是对换时成立 ○ 考虑对换 (i j)，不失一般性地，假设 ij ○ 则 (i j)=s_i s_(i+1)…s_(j−3) s_(j−2) s_(j−1) s_(j−2) s_(j−3)…s_(i+1) s_i • 相邻对换分解 ○ 对于置换 σ∈S_n ○ 将 σ 写成 σ=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_m ) 称作相邻对换分解 • 长度 ○ 定义 σ 的长度为它所有相邻对换分解的最短长度，记为 l(σ) ○ 特别地，l(e)=0 • 定理：定义 L(σ)={(i,j)│ ij 并且 σ(i)σ(j) }，则 l(σ)=|L(σ)| ○ L(e)=∅ 所以命题对 e 恒成立 ○ 假设 σ 为非恒等元素 ○ 考虑 L(σs_i ) 作用在 [n] 上 ○ (■8(1&2&3&…&i&i+1&…&n@↓&↓&↓&…&↓&↓&…&↓@1&2&3&…&i+1&i&…&n@↓&↓&↓&…&↓&↓&…&↓@σ(1)&σ(2)&σ(3)&…&σ(i+1)&σ(i)&…&σ(n) )) ○ 则 |L(σs_i )|=|L(σ)|=±1 ○ 取 σ 最短的相邻对换分解 σ=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) ○ 则 e=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) s_(i_L(σ) )…s_(i_2 ) s_(i_1 ) ○ 所以 L(σ)≤l(σ) ○ 现在只需证明另一个不等方向 ○ 因为 σ 是非恒等映射 ○ 故存在 i∈[n] 使得 σ(i)σ(i+1) ○ |L(σs_i )|=|L(σ)|−1 ○ 所以我们可以右乘 |L(σ)| 个相邻对换使得 σ 变回 e ○ σ(s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) )=e ○ ⇒σ 可以写成 |L(σ)| 个相邻对换的乘积 ○ ⇒l(σ)≤L(σ) ○ 命题得证](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562d9eda63f.png)
![Z\/n • 复习 ○ Z\/n={0,1,…,n−1} ○ 考虑映射 f:Z→Z\/n,a↦[n] ○ 可以证明映射 f 是一个同态 ○ 通过群同构定理，可以得到 Z\/n≅Z\/kerf ○ 可以找到 kerf=nZ={na|a∈Z} • Z\/n 上的自同构 ○ 定义在 Z\/n 到 Z\/n 的一些同态 ϕ: Z\/n→Z\/n ○ 假设 ϕ(1)=m，则对于任意 a∈Z\/n ○ ϕ(a)=ϕ⏟((1+1+…+1) )┬(a 个 1)=aϕ(1)∈Z\/n ○ 记所有的从 Z\/n 到 Z\/n 的同态为 ϕ_m • 引理 ○ 命题 § 如果 0mn, 0≤an 并且 n 整除 ma § 那么 a≠0 当且仅当 m 与 n 有公约数 k1 ○ 证明 § 当 m 与 n 有公约数 k1 时 § 0a=n/kn § ⇒ma=m n/k=m/k n 是 n 的倍数 § 故 n 整除 ma § 另一方面 § 如果 m 与 n 没有这样的公约数 k § 因为 n 整除 ma § 所以 n 整除 a § 但是 0an⇒a=0 § 违背了假设，故命题成立 § 即 m 与 n 有公约数 k1 • 哪些 ϕ_m 是 Z\/n 上的自同构？ ○ ⟺ ϕ_m 是个单射 ○ ⟺ker〖ϕ_m 〗={0} ○ 当 m=1 时，ϕ_0 (1)=0⇒ϕ_0 不是自同构 ○ 假设 m≠0，ϕ_m (a)=am=0∈Z\/n ○ ⟺am 可以被 n 整除 ○ 根据引理 ϕ_m 是单射当且仅当 m 与 n 互质 • 练习 ○ 定义 (Z/n)^∗={x∈Z/n|x 与 n 互质} ○ 证明 ((Z/n)^∗,×) 是一个群 ○ 注：(Z/p)^∗={1,2,3,…,p−1} 是(Z/n)^∗ 的特例 • 定理：Aut(Z/n)≅(Z/n)^∗ ○ 定义 ϕ: (Z/n)^∗→Aut(Z/n), a↦ϕ_a ○ ϕ_a 是自同构当且仅当 a 与 n 互质 ○ ⇒ϕ 是双射 ○ 只需证明 ϕ 是群同态 ○ ϕ_a∘ϕ_b (x)=ϕ_a (bx)=abx=ϕ_ab (x) ○ 故 ϕ 是群同态 ○ 所以 Aut(Z/n)≅(Z/n)^∗](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562e1f44c7f.png)
