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第8讲矩阵乘法

$8.1 矩阵乘法的定义 • 引例 ○ 点 (x,y) 绕原点旋转 θ_1 后到 (x^′,y^′ ) ○ 则 (x,y) 和 (x^′,y^′ ) 满足关系{█(x=a_11 x^′+a_12 y′@y=a_21 x^′+a_22 y′)┤ 系数矩阵表示为 (■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )) ○ 点 (x′,y′) 再绕原点旋转 θ_2 后到 (x^′′,y^′′ ) ○ 则 (x′,y′) 和 (x^′′,y^′′ ) 满足关系{█(x′=b_11 〖x^′〗^′+b_12 y′′@y′=b_21 x^′′+b_22 y′′)┤ 系数矩阵表示为 (■8(b_11&b_12@b_21&b_22 )) ○ 要求 (x,y) 和 (〖x′〗^′,y^′′ ) 之间的关系 ○ 我们可以联立{█(x=a_11 x^′+a_12 y′@y=a_21 x^′+a_22 y′)┤ 和 {█(x′=b_11 〖x^′〗^′+b_12 y′′@y′=b_21 x^′′+b_22 y′′)┤ ○ 解得 {█(x=(a_11 b_11+a_12 b_21 ) x^′′+(a_11 b_12+a_12 b_22 )y′′@y=(a_21 b_11+a_22 b_22 ) x^′′+(a_21 b_12+a_22 b_22 )y′′)┤ ○ 用系数矩阵表示为 (■8(a_11 b_11+a_12 b_21&a_11 b_12+a_12 b_22@a_21 b_11+a_22 b_22&a_21 b_12+a_22 b_22 )) ○ 故先做矩阵变换 (■8(a_11&a_12@a_21&a_22 ))，再做矩阵变换(■8(b_11&b_12@b_21&b_22 )) ○ 等价于做矩阵变换(■8(a_11 b_11+a_12 b_21&a_11 b_12+a_12 b_22@a_21 b_11+a_22 b_22&a_21 b_12+a_22 b_22 )) • 定义：矩阵乘法 ○ A=(a_ij )_(m×l) B=(b_ij )_(l×n) C=(c_ij )_(m×n) ○ AB=┴def C ○ c_ij=a_i1 b_1j+a_i2 b_2j+…a_il b_lj=∑_(k=1)^l▒〖a_ik b_kj 〗 • 例1：A=(■8(1&2@2&3@3&1))_(3×2), B=(■8(1&1&0@0&1&0))_(2×3) ○ AB=(■8(1&2@2&3@3&1))(■8(1&1&0@0&1&0))=(■8(1&3&0@2&5&0@3&4&0))_(3×3) ○ BA=(■8(1&1&0@0&1&0))(■8(1&2@2&3@3&1))=(■8(3&5@2&3))_(2×2) ○ ∴AB≠BA • 例2：A=(■8(1&2@3&4)), B=(■8(1&1@0&1)) ○ AB=(■8(1&3@3&7)) ○ BA=(■8(4&6@3&4)) ○ ∴AB≠BA • 例3：A=(■8(1&2@3&4)), B=(■8(1@1)) ○ AB=(■8(3@7)) ○ BA 未定义 • 例4：A=(■8(1&2@3&4)),B=(■8(1&0@0&1)) ○ AB=BA=(■8(1&2@3&4)) 8.2 矩阵乘法的性质 • 不满足交换律 ○ 一般情况下 AB≠BA （亦有可能未定义） ○ 若 AB=BA 则 A, B 可交换 ○ 例：问所有与 B=(■8(0&1@0&0)) 可交换的矩阵 § 设 A_(2×2)=(■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )) 满足 AB=BA § 则有(■8(0&a_11@0&a_21 ))=(■8(a_21&a_22@0&0)) § ⇒{█(a_21=0@a_11=a_22 )⇒A=(■8(a_11&a_12@0&a_11 ))┤ ○ 注：可交换矩阵必为方阵，且方阵的规模相同 § A_(m×n) B_(p×q) § 若乘法交换律 A_(m×n) B_(p×q)=B_(p×q) A_(m×n) 成立 § 则 {█(A_(m×n) B_(p×q) 存在@B_(p×q) A_(m×n) 存在@左=右)┤⇒{█(n=p@p=q@m=p@q=n)⇒m=n=p=q┤ • 满足结合律 ○ 数乘 § (kA)B=A(kB)=k(AB) § 显然成立，证明略 ○ 三矩阵相乘 § (AB)C=A(BC) ○ 证明三矩阵相乘结合律：(AB)C=A(BC) § 为使得运算成立，假设 A_(m×s) B_(s×t) C_(t×n) § 左通项=∑_(l=1)^t▒((∑_(k=1)^s▒〖a_ik b_kj 〗) c_lj ) =∑_(k=1)^s▒∑_(l=1)^t▒〖〖a_ik b〗_il c_lj 〗 § 右通项=∑_(k=1)^s▒(a_ik (∑_(l=1)^t▒〖b_il c_lj 〗)) =∑_(k=1)^s▒∑_(l=1)^t▒〖〖a_ik b〗_il c_lj 〗 § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ • 满足分配律 ○ A(B+C)=AB+AC ○ (B+C)A=BA+CA ○ 证明矩阵乘法分配律：A(B+C)=AB+AC § 为使得运算成立，假设 A_(m×l) B_(l×n) C_(l×n) § 左通项=∑_(k=1)^l▒〖a_ik (b_kj+c_kj)〗=∑_(k=1)^l▒〖a_ij b_kj 〗+∑_(k=1)^l▒〖a_ij c_kj 〗 § 右通项=∑_(k=1)^l▒〖a_ij b_kj 〗+∑_(k=1)^l▒〖a_ij c_kj 〗 § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ • 不满足消去律 ○ AB=0 ⇏ A=0 or B=0 § A=(■8(2&4@−3&−6)), B=(■8(−2&−4@1&−2)) § AB=(■8(2&4@−3&−6))(■8(−2&−4@1&−2))=(■8(0&0@0&0)) ○ AC=BC ⇏ A=B § A=(■8(1&2@0&3)), B=(■8(1&0@0&4)), C=(■8(1&1@0&0)) § AC=BC=(■8(1&1@0&0)) 8.3 矩阵的其他运算 • 转置 ○ 例子 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 ))_(2×3)⇒A^T=(■8(a_11&a_21@a_12&a_22@a_13&a_23 ))_(3×2) ○ 定义 § A=(a_ij )_(m×n) A^T=(b_ij )_(n×m) § b_ij=a_ji, {█(i=1…n@b=1…m)┤ ○ 转置的性质 1. (A^T )^T=A 2. (A+B)^T=A^T+B^T 3. (kA)^T=〖k(A〗^T) 4. (AB)^T=B^T A^T ○ 性质4的证明 § 为使得运算成立，假设 A=(a_ij )_(m×l), B=(b_ij )_(l×n) § 左通项=∑_(k=1)^l▒〖a_jk b_ki 〗 § 右通项=∑_(k=1)^l▒〖b_ki a〗_jk § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ ○ 性质4的推广 (ABC)^T=C^T (AB)^T=C^T B^T A^T • 定义：向量的内积和外积 ○ x=(x_1,x_2…x_n )^T, y=(y_1,y_2…y_n )^T ○ 内积：x^T y=(x_1,x_2…x_n )(■8(y_1@y_2@⋮@y_n ))=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n ○ 外积：y^T x=(■8(x_1 y_1&x_1 y_2&…&x_1 y_n@x_2 y_1&x_2 y_2&…&x_2 y_n@⋮&⋮&⋮&⋮@x_n y_1&x_n y_2 &…&x_n y_n )) • 方阵的幂 ○ 定义 § A^k=(AA…A)┬共k个 ○ 方阵幂的性质 1. A^(k_1 ) A^(k_2 )=A^(k_1+k_2 ) 2. (A^(k_1 ) )^(k_2 )=A^(k_1 k_2 ) 3. (AB)^k≠A^k B^k ○ 性质3的反例（k=2） § A=(■8(0&1@2&3)), B=(■8(1&1@1&0)) § A^2=(■8(2&3@6&11)), B^2=(■8(2&1@1&1)) § AB=(■8(1&0@5&2)), (AB)^2=(■8(1&0@15&4)) § A^2 B^2=(■8(7&5@23&17)) § ⇒(AB)^2≠A^2 B^2 § 由矩阵不满足交换律决定 • 方阵的行列式 ○ 记法 § |A| 或 det⁡(A) ○ 方阵的行列式的性质 1. |A^T |=|A| 2. |kA|=k^n |A| 3. |A+B|≠|A|+|B| 4. |AB|=|A||B| 5. |A^k |=|A|^k 6. |A_1 A_2…A_n |=|A_1 ||A_2 |…|A_n | 7. |AB|=|BA| (若均存在) ○ 性质2的例子 § |A_(3×3) |=2 § |−2A|=(−2)^3 |A|=−16 ○ 性质4的证明（大致思路） § 假设 A=(a_ij )_(n×n), B=(b_ij )_(n×n) § 构造 D=(■8(a_11&…&a_1n&0&…&0@⋮&⋱&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&…&a_nn&0&…&0@−1&…&0&b_11&…&b_1n@⋮&⋱&⋮&⋮&⋱&⋮@0&…&−1&b_n1&…&b_nn )) § 简单可证 |D|=|A||B|=|AB|$

第9讲特殊矩阵

$9.1 对角矩阵 • 定义 ○ 除了主对角线以外都为零的矩阵 ○ a_ij=0, i≠j ○ A=(■8(a_11&0&…&0@0&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) • 性质 ○ 零矩阵是对角矩阵 ○ 同阶对角矩阵之和仍为对角矩阵 § A+B=(■8(a_11&0&…&0@0&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) ○ 对角矩阵数乘后仍为对角矩阵 § kA=(■8(〖ka〗_11&0&…&0@0&〖ka〗_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&〖ka〗_nn )) ○ 同阶对角矩阵相乘后仍为对角矩阵 § AB=(■8(a_11 b_11&0&…&0@0&a_22 b_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn b_nn )) ○ 对角矩阵转置后仍为本身 § A为对角矩阵⇒A^T=A § A^T=A⇏A为对角矩阵 § A^T=A⇒A为对称矩阵 9.2 单位矩阵 • 定义 ○ 一般用 I 或 E 表示 ○ a_ij={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ I=(■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1) • 性质 ○ 原矩阵右乘单位矩阵仍为本身 § I_m A_(m×n)=A_(m×n) § (■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1))(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn ))=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ 原矩阵左乘单位矩阵仍为本身 § A_(m×n) I_n=A_(m×n) § (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn ))(■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1))=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ 规定 A^0=I 9.3 数量矩阵 • 定义 ○ a_ij={█(a, i=j@0, i≠j)┤ ○ A=(■8(a&0&…&0@0&a&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a)) • 性质 ○ 可以表示为单位矩阵数乘 § A=aI ○ 与数量矩阵相乘等价于原矩阵的数乘 § AB=aB § BA=aB ○ 与任意方阵可交换 9.4 三角形矩阵 • 上三角矩阵 ○ 主对角线左下方全为零的矩阵 ○ a_ij=0, i>j ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@0&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) • 下三角矩阵 ○ 主对角线右上方全为零的矩阵 ○ a_ij=0, i<j ○ A=(■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 性质 ○ 若 A 为上(下)三角矩阵，则 kA 仍为上(下)三角矩阵 § kA=(■8(〖ka〗_11&ka_12&…&〖ka〗_1n@0&ka_22&…&ka_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&ka_nn )) ○ 若 A, B 为同阶上(下)三角矩阵，则 A+B 仍为上(下)三角矩阵 § A+B=(■8(a_11+b_11&a_12+b_12&…&a_1n+b_1n@0&a_22+b_22&…&a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn+b_nn )) ○ 若 A, B 为同阶上(下)三角矩阵，则 AB 仍为上(下)三角矩阵 § 设 A=(a_ij )_(n×n) (a_ij=0,i>j) § B=(b_ij )_(n×n) (b_ij=0,i>j) § C=AB=(c_ij )_(n×n) § 要证 c_ij=0,i>j § 根据定义，c_ij=∑_(k=1)^n▒〖a_ik b_kj 〗 § 对于任意 k，i>k 和 k>j 至少有一个满足 § 若 i>k, 则 a_ik=0 § 若 k>j, 则 b_kj=0 § ∴ c_ij=∑_(k=1)^n▒〖a_ik b_kj 〗=0 ,i>j § 即 C=AB 仍为上三角矩阵 ∎ 9.5 对称矩阵 • 定义 ○ A^T=A ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_12&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@a_1n&a_2n&…&a_nn )) ○ A=(a_ij )_(n×n), A^T=(b_ij )_(n×n), b_ij=a_ji • 性质 ○ 若 A 对称矩阵，则 kA 仍为对称矩阵 § kA=(■8(ka_11&ka_12&…&ka_1n@ka_12&ka_22&…&ka_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@ka_1n&ka_2n&…&ka_nn )) ○ 若 A, B 为同阶对称矩阵，则 A+B 仍为对称矩阵 § A+B=(■8(a_11+b_11&a_12+b_12&…&a_1n+b_1n@a_12+b_12&a_22+b_22&…&a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@a_1n+b_1n&a_2n+b_2n&…&a_nn+b_nn )) ○ 若 A, B 为同阶对称矩阵，则 AB 不一定为对称矩阵 § 反例：A=(■8(0&−1@−1&1)),B=(■8(1&1@1&1))⇒AB=(■8(−1&−1@0&0 ○ AB 对称⇔ 可交换 § (AB)^T=B^T A^T=BA=┴若可交换 AB ○ 对于任意 A_(m×n), A^T A 与 AA^T 对称 § (A^T A)^T=A^T (A^T )^T=A^T A § (AA^T )^T=(A^T )^T A^T=AA^T 9.6 反对称矩阵 • 定义 ○ A^T=−A ○ A=(■8(0&a_12&…&a_1n@〖−a〗_12&0&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@〖−a〗_1n&−a_2n&…&0)) ○ A=(a_ij )_(n×n), A^T=(b_ij )_(n×n), b_ij=−a_ji • 性质 ○ 若 A 是奇数阶反对称矩阵，则 |A|=0 § 证明略 ○ 对于任意方阵 A， A+A^T 是对称方阵，A−A^T 是反对称矩阵 § (A+A^T )^T=A^T+(A^T )^T=A^T+A=A+A^T § (A−A^T )^T=A^T−(A^T )^T=A^T−A ○ 任意方阵可以写成对称矩阵与反对称矩阵之和 § A=1/2 (A+A^T )+1/2(A−A^T)$

第10讲矩阵的逆

$10.1 逆矩阵的概念 • 引例：线性方程组 ○ {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=b_2@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=b_n )┤ ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )), x ⃗=(■8(x_1@⋮@x_n )), b ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ Ax ⃗=b ⃗ • 定义 ○ 对于方阵 A，若存在方阵 B，使得 AB=BA=I ○ 则称 A 可逆，B 称为 A 的逆矩阵，一般表示为 A^(−1) ○ 注：定义并没有说明 A 的逆矩阵是否一定存在 • 性质 ○ 如果逆矩阵存在，则唯一 § 假设 B 与 C 都是 A 的逆矩阵，即 AB=BA=I , AC=CA=I § B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C § 即 B=C∎ ○ A,B 互逆 § AB=BA=I ○ 单位矩阵的逆 § I_n^(−1)=I_n § I_n I_n=I_n ○ 对角矩阵的逆 § A=(■8(a_1&0&…&0@0&a_2&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_n )), a_i≠0 (i=1,2…n) § A^(−1)=(■8(1/a_1 &0&…&0@0&1/a_2 &…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1/a_n )) • 例子：求 (■8(1&2@0&1)) 的逆矩阵 ○ A=(■8(1&2@0&1)), 设 B=A^(−1)=(■8(a&b@c&d)) ○ AB=(■8(a+2c&b+2d@c&d))=I=(■8(1&0@0&1)) ○ ⇒{█(a+2c=1@b+2d=0@c=0@d=1)⇒{█(a=1@b=−2@c=0@d=1)┤⇒B=(■8(1&−2@0&1))┤ ○ 检验 BA=(■8(1&0@0&1))=I ○ ∴AB=BA=I ○ 即(■8(1&2@0&1))^(−1)=(■8(1&−2@0&1)) 10.2 用伴随矩阵求逆 • 定义：非奇异（非退化） ○ 一个方阵的行列式不为零 ○ |A_(n×n) |≠0 • 定义：代数余子式矩阵（Cofactor） ○ 原矩阵 ○ 代数余子式矩阵 ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ⇒┴代数余子式矩阵 C=(■8(A_11&A_12&…&A_1n@A_21&A_22&…&A_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@A_n1&A_n2&…&A_nn )) • 伴随矩阵 A^∗ ○ 定义 § A^∗=C^T=(■8(A_11&A_21&…&A_n1@A_12&A_22&…&A_n2@⋮&⋮&⋮&⋮@A_1n&A_2n&…&A_nn )) ○ 例子 § A=(■8(1&1&0@0&1&1@0&0&1)) ⇒┴伴随矩阵 A^∗=(■8(1&−1&1@0&1&−1@0&0&1)) ○ 性质 § 〖AA〗^∗=A^∗ A=(■8(|A|&0&…&0@0&|A|&…&0@⋮&⋮&⋮&⋮@0&0&…&|A| ))=|A|I • 定理1 ○ |A|≠0⇔A 可逆 ○ 证明充分性 § ∵|A|≠0 § ∴A1/|A| A^∗=I, 1/|A| A^∗ A=I § 即 A 可逆，逆矩阵为 1/|A| A^∗ ∎ ○ 证明必要性 § 存在 AB=BA=I § |AB|=|I| § |A||B|=1 § |A|≠0 ∎ • 例1：求 (■8(1&1&0@0&1&1@0&0&1)) 的逆矩阵 ○ A=(■8(1&1&0@0&1&1@0&0&1)) ⇒┴伴随矩阵 A^∗=(■8(1&−1&1@0&1&−1@0&0&1)) ○ |A|=1≠0⇒A可逆 ○ A^(−1)=1/|A| A^∗=(■8(1&−1&1@0&1&−1@0&0&1)) • 例2：求 (■8(a_1&0&…&0@0&a_2&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_n )) a_i≠0 (i=1,2…n) 的逆矩阵 ○ |A|=a_1 a_2…a_n≠0 ○ A^∗=(■8(a_2 a_3…a_n&0&…&0@0&a_1 a_3…a_n&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&〖a_1 a_2…a〗_(n−1) )) ○ A^(−1)=1/|A| A^∗=(■8(1/a_1 &0&…&0@0&1/a_2 &…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1/a_n )) • 定理2 ○ AB=I⇔BA=I ○ 证明 § ∵AB=I § ∴|AB|=|I|=1 § ∴|A||B|=1 § ∴|A|≠0 § ∴B=IB=(A^(−1) A)B=A^(−1) (AB)=A^(−1) I=A^(−1) § 根据逆矩阵的性质，有 BA=I • 例3：已知〖aA〗^2+bA+cI=0 (c≠0)，问 A 是否可逆 ○ 法1：行列式不等于零 § 〖aA〗^2+bA=−cI § ⇒A(aA+bI)=−cI § ⇒|A(aA+bI)|=|−cI| § ⇒|A||aA+bI|=|−cI|=(−c)^n |I|=(−c)^n≠0 § ⇒|A|≠0 即A可逆∎ ○ 法2：求出逆矩阵 § 〖aA〗^2+bA=−cI § ⇒A(aA+bI)=−cI § ⇒A(−a/c A+b/c I)=I § ⇒A^(−1)=(−a/c A+b/c I) 即A可逆∎ 10.3 逆矩阵的性质 1. (A^(−1) )^(−1)=A ○ 证明：A^(−1) A=I 2. (kA)^(−1)=1/k A^(−1) (其中k≠0) ○ 证明： 3. (A^T )^(−1)=(A^(−1) )^T ○ 证明：A^T (A^(−1) )^T=(A^(−1) A)^T=I^T=I 4. (AB)^(−1)=B^(−1) A^(−1) ○ 证明：AB(B^(−1) A^(−1) )=A(〖BB〗^(−1) ) A^(−1)=AIA^(−1)=AA^(−1)=I ○ 推广：(ABC)^(−1)=C^(−1) B^(−1) A^(−1) 5. (A^k )^(−1)=(A^(−1) )^k =┴def A^(−k) ○ 证明 § A^k (A^(−1) )^k § =(AA…A)┬共k个 (A^(−1) A^(−1)…A^(−1))┬共k个 § =AA…(A A^(−1) ) A^(−1)…A^(−1) § =AA…IA^(−1)…A^(−1)=…=I 6. |A^(−1) |=|A|^(−1) ○ 证明 § 〖AA〗^(−1)=I § |A||A^(−1) |=1 § |A^(−1) |=1/|A| § 即|A^(−1) |=|A|^(−1)∎ ○ 推广 § |A^(−k) |=|(A^k )^(−1) |=|A^k |^(−1)=|A|^(−k) 7. AB=AC,且 A 可逆⇒则 B=C ○ 证明 § AB=AC § ⇒A^(−1) (AB)=A^(−1) (AC) § ⇒(A^(−1) A)B=(A^(−1) A)C § ⇒IB=IC § ⇒B=C ○ 推广 § AB=0, 且 A 可逆⇒B=0 10.4 伴随矩阵的性质 1. 〖AA〗^∗=A^∗ A=|A|I ○ 证明略 2. A^(−1)=1/|A| A^∗, A^∗=|A| A^(−1) (|A|≠0) ○ 证明略 3. (A^∗ )^(−1)=1/|A| A (|A|≠0) ○ 证明略 4. |A^∗ |=|A|^(n−1) ○ 证明：当 n=1 时 § 规定 |A^∗ |=A^∗=1 ○ 若 |A|≠0，要证 |A^∗ |=|A|^(n−1) § 〖|AA〗^∗ |=|(|A|I)| § |A||A^∗ |=|A|^n |I|=|A|^n § |A^∗ |=|A|^(n−1) ○ 若 |A|=0，要证 |A^∗ |=|A|^(n−1)=0 § 反证：假设 |A^∗ |≠0，即 A^∗ 可逆 § AA^∗=|A|I § AA^∗ (A^∗ )^(−1)=|A|I(A^∗ )^(−1) § A=0 § A^∗=0 与 |A|=0 矛盾，故 |A^∗ |=0 ○ 综上所述 |A^∗ |=|A|^(n−1) 5. (A^∗ )^∗=|A|^(n−2) A ○ 只证 |A|≠0 时 § (A^∗ )^∗=|A^∗ | (A^∗ )^(−1)=|A|^(n−1) 1/|A| A=|A|^(n−2) A 6. (kA)^∗=k^(n−1) A^∗ ○ 观察到 A^∗ 中每个 n−1 阶的代数余子式都乘以 k^(n−1) 7. (A^T )^∗=(A^∗ )^T ○ 证明略 8. (AB)^∗=B^∗ A^∗ ○ 只证 |A|≠0, |B|≠0 时 § (AB)^∗=|AB| (AB)^(−1)=|A||B| B^(−1) A^(−1)=(|B| B^(−1) )(|A| A^(−1) )=B^∗ A^∗ ○ 推广 § (ABC)^∗=C^∗ B^∗ A^∗ 9. (A^(−1) )^∗=(A^∗ )^(−1) ○ 证明 § 左=(A^(−1) )^∗=|A^(−1) | (A^(−1) )^(−1)=1/|A| A § 右=(A^∗ )^(−1)=(|A| A^(−1) )^(−1)=1/|A| A § 等式成立 ∎ ○ 推广 § (A^(−k) )^∗=(A^∗ )^(−k) 10. (A^k )^∗=(A^∗ )^k ○ 证明略$

第11讲分块矩阵

$11.1 矩阵的分块 • 引例 ○ A=(■8(1&0&0&1@0&1&0&2@0&0&1&3@0&0&0&4))_(4×4)=(■8(A_1&A_2@A_3&A_4 ))_(2×2),其中 ○ A=(■8(A_1&A_2@A_3&A_4 ))_(2×2),其中{█(A_1=I_2@A_2=(■8(0&1@0&2))@A_3=0@A_4=(■8(1&3@0&4)) )┤ ○ A=(■8(I^3&M@0&4)),其中 M=(■8(1@2@3)) • 常见的分块方法 ○ 按列分：A=(A_1,A_2,A_3,A_4 ) ○ 按行分：A=(■8(B_1@B_2@B_3@B_4 )) • 运算 ○ 假设 A=(■8(A_11&A_12&A_13@A_21&A_22&A_23 )), B=(■8(B_11&B_12&B_13@B_21&B_22&B_23 )) ○ 数乘 § kA=(■8(kA_11&kA_12&〖kA〗_13@kA_21&〖kA〗_22&kA_23 )) ○ 加法 § A+B=(■8(A_11+B_11&A_12+B_12&A_13+B_13@A_21+B_21&A_22+B_22&A_23+B_23 )) ○ 转置 § A^T=(■8(A_11^T&A_21^T@A_12^T&A_22^T@A_13^T&A_23^T )) 11.2 分块矩阵的乘法 • 前提条件 ○ A=(■8(A_11&A_12&…&A_1t@A_21&A_22&…&A_2t@⋮&⋮&⋮&⋮@A_s1&A_s2&…&A_st )), B=(■8(B_11&B_12&…&B_1r@B_21&B_22&…&B_2r@⋮&⋮&⋮&⋮@B_t1&B_t2&…&B_tr )) ○ A 的列分块方式与 B 的行分块方式一致时，才能做分块乘法 • 例子：已知 A=(■8(1&0&0&1@0&1&0&2@0&0&1&3))_(3×4), B=(■8(1&0@0&1@1&0@0&1))_(4×2)，求 AB ○ 分法1 § A=(■8(1&0&0&1@0&1&0&2@0&0&1&3))_(3×4) =┴分块 (■8(1&(■8(0&0))&1@(■8(0@0))&(■8(1&0@0&1))&(■8(2@3)) ))_(2×3) § B=(■8(1&0@0&1@1&0@0&1))_(4×2) =┴分块 (■8(1&0@(■8(0@1))&(■8(1@0))@0&1))_(3×2) § AB=(■8(1&(■8(0&0))&1@(■8(0@0))&(■8(1&0@0&1))&(■8(2@3)) ))_(2×3) (■8(1&0@(■8(0@1))&(■8(1@0))@0&1))_(3×2)=(■8(C_1&C_2@C_3&C_4 ))_(2×2) § 其中 {█(C_1=1+(■8(0&0))(■8(0@1))+0=1@C_2=0+(■8(0&0))(■8(1@0))+1=0@C_3=(■8(0@0))1+(■8(1&0@0&1))(■8(0@1))+(■8(2@3))0=(■8(0@1))@C_4=(■8(0@0))0+(■8(1&0@0&1))(■8(1@0))+(■8(2@3))1=(■8(3@3)) )┤⇒AB=(■8(1&1@0&3@1&3))_(3×2) ○ 分法2 § A=(■8(1&0&0&1@0&1&0&2@0&0&1&3))_(3×4)=(■8(I_3&(■8(1@2@3)) ))_(1×2) § B=(■8(1&0@0&1@1&0@0&1))_(4×2)=(■8((■8(1&0@0&1@1&0))@(■8(0&1)) ))_(2×1) § AB=I_3 (■8(1&0@0&1@1&0))+(■8(1@2@3))(■8(0&1))=(■8(1&0@0&1@1&0))+(■8(0&1@0&2@0&3))=(■8(1&1@0&3@1&3))_(3×2) ○ 分法3 § A=(■8(1&0&0&1@0&1&0&2@0&0&1&3))_(3×4)=(■8(I_2&(■8(0&1@0&2))@(■8(0&0))&(■8(1&3)) ))_(2×2) § B=(■8(1&0@0&1@1&0@0&1))_(4×2)=(■8(I_2@I_2 ))_(2×1) § AB=(■8(C_1@C_2 )),其中{█(C_1=I_2+(■8(0&1@0&2))=(■8(1&1@0&3))@C_2=(■8(0&0))+(■8(1&3))=(■8(1&3)) )┤⇒AB=(■8(1&1@0&3@1&3)) 11.3 分块矩阵的行列式 • 分块矩阵行列式成立有条件 ○ |■8(A&B@C&D)|≠|A||D|−|B||C| ○ |■8(A_(r×r)&0_(r×s)@C_(s×r)&D_(s×s) )|=(−1)^(2(1+2+…+r)) |A||D|=|A||D| ○ |■8(A_(r×r)&B_(r×s)@0_(s×r)&D_(s×s) )|=(−1)^(2(1+2+…+r)) |A||D|=|A||D| • 下三角分块矩阵 ○ |■8(A_11&0&0&…&0@A_21&A_22&0&…&0@A_31&A_32&A_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@A_s1&A_s2&A_s3&…&A_ss )|=|A_11 ||A_22 |…|A_ss | • 上三角分块矩阵 ○ |■8(A_11&A_12&A_13&…&A_1s@0&A_22&A_23&…&A_2s@0&0&A_33&…&A_3s@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&A_ss )|=|A_11 ||A_22 |…|A_ss | • 对角形分块矩阵 ○ |■8(A_11&0&0&…&0@0&A_22&0&…&0@0&0&A_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&A_ss )|=|A_11 ||A_22 |…|A_ss | • 例题：已知分块矩阵 D=(■8(A_(r×r)&C_(r×s)@0_(s×r)&B_(s×s) )), 其中 A,B 可逆，求证 D 可逆 ○ |D|=|A||B|≠0⇒D 可逆 ○ 设 D^(−1)=(■8(X&Y@Z&W)) ○ 则〖DD〗^(−1)=(■8(A&C@0&B))(■8(X&Y@Z&W))=(■8(AX+CZ&AY+CW@BZ&BW))=I=(■8(I_r&0@0&I_s )) ○ ⇒{█(AX+CZ=I@AY+CW=0@BZ=0@BW=I)┤⇒{█(X=A^(−1)@Y=−A^(−1) CB^(−1)@Z=0@W=B^(−1) )┤⇒D^(−1)=(■8(A^(−1)&−A^(−1) CB^(−1)@0&B^(−1) ))$

第12讲矩阵的初等变换

$12.1 初等变换 1. 交换两行(列) ○ (■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(r_1↔r_2 ) (■8(a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) 2. 用一非零的数 k 乘以某一行(列) ○ (■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(kr_1 ) (■8(ka_11&ka_12&ka_13@a_21&a_22&a_23 )) 3. 用一行(列)的 l 被加到另一行(列) ○ (■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(r_2+lr_1 ) (■8(a_11&a_12&a_13@a_21+la_11&a_22+la_12&a_23+la_13 )) • 初等行变换可以看作对线性方程组 {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=b_2@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=b_n )┤ 的操作 12.2 初等矩阵 • 定义 ○ 单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵 • 三类初等矩阵 ○ I=(■(1&&@&⋱&@&&1)) →┴(交换两行(列)) I(ij)=(■(1&&&&&&@&⋱&&&&&@&&0&…&1&&@&&⋮&⋱&⋮&&@&&1&…&0&&@&&&&&⋱&@&&&&&&1)) ○ I=(■(1&&@&⋱&@&&1)) →┴(将一非零数 k 乘到第 i 行) I(i(k))=(■(1&&&&@&⋱&&&@&&k&&@&&&⋱&@&&&&1)) ○ I=(■(1&&@&⋱&@&&1)) →┴(将第 j 行的 l 倍加到第 i 行) I(ij(l))=(■(1&&&&&&@&⋱&&&&&@&&1&…&l&&@&&&⋱&⋮&&@&&&&1&&@&&&&&⋱&@&&&&&&1)) • 练习：判断初等矩阵 ○ (■8(1&0&0@0&2&0@0&0&1)) 是 ○ (■8(1&0&0@0&2&0@0&0&3)) 否 ○ (■8(0&0&1@0&1&0@1&0&0)) 是 ○ (■8(0&1&0@0&0&1@1&0&0)) 否 ○ (■8(1&2&0@0&1&0@0&0&1)) 是 • 定理 ○ 对 A_(m×n) 做初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵 I(ij)_m, I(i(k))_m, I(ij(k))_m ○ 对 A_(m×n) 做初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵 I(ij)_n, I(i(k))_n, I(ij(k))_n • 练习 ○ A=(■8(A_1@A_2@A_3 )) ○ 第一类变换 § I(ij)=I(1,2)=(■8(0&1&0@1&0&0@0&0&1)) § I(1,2)A=(■8(0&1&0@1&0&0@0&0&1))(■8(A_1@A_2@A_3 ))=(■8(A_2@A_1@A_3 )) ○ 第二类变换 § I(i(k))=I(1(k))=(■8(k&0&0@0&1&0@0&0&1)) § I(1(k))A=(■8(k&0&0@0&1&0@0&0&1))(■8(A_1@A_2@A_3 ))=(■8(〖kA〗_1@A_2@A_3 )) ○ 第三类变换 § I(ij(k))=I(2,1(l))=(■8(1&0&0@l&1&0@0&0&1)) § I(2,1(l))A=(■8(1&0&0@l&1&0@0&0&1))(■8(A_1@A_2@A_3 ))=(lA_1+■8(A_1@A_2@A_3 )) • 例题：已知 |A_(3×3) |=3，B 是 A 交换 1,2 行得到的，求 |BA^∗ | ○ B=I(12)A=(■8(0&1&0@1&0&0@0&0&1))A ○ |BA^∗ |=|I(12)AA^∗ |=|(I(12)|A|I)|=|A|^3 |I(12)||I|=3^3×(−1)×1 • 性质：初等矩阵都是可逆的 ○ I(ij)I(ij)=I ○ I(i(k^(−1)))I(i(k))=I ○ I(ij(−l))I(ij(l))=I 12.3 矩阵等价 • 定义 ○ 矩阵 A 与 B 等价 ⇔B 可由 A 经过一系列初等变换的得到 • 等价关系的三个性质 ○ 反身性：A 与 A 等价 § 矩阵等价显然满足反身性 ○ 对称性：A 与 B 等价⇔B 与 A 等价 § B=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t § ⇒A=P_s^(−1)…P_1^(−1) BQ_t^(−1)…Q_1^(−1) § 故矩阵等价满足对称性 ○ 传递性：若 A 与 B 等价，且 B 与 C 等价，则 A 与 C 等价 § {█(B=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t@C=R_1…R_l 〖BS〗_1…S_m )┤ § ⇒C=R_1…R_l 〖P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t S〗_1…S_m § 故矩阵等价满足传递性 • 等价标准形 ○ 定义 § A_(m×n) 的等价标准形 D=(■8(I_r&0_(r×(n−r))@0_((m−r)×r)&0_((m−r)×(n−r)) )) ○ 例1：(■8(1&0&1@2&0&−1@3&1&2))_(3×3) 的等价标准形 § A=(■8(1&0&1@2&0&−1@3&1&2)) (→┴(r_2−2r_1 ))┬(r_3−3r_1 ) (■8(1&0&1@0&0&−3@0&1&−1)) →┴(r_2↔r_3 ) (■8(1&0&1@0&1&−1@0&0&−3)) →┴(r_3×(−1/3) ) (■8(1&0&1@0&1&−1@0&0&1)) (→┴(r_1−r_3 ))┬(r_2+r_3 ) (■8(1&0&0@0&1&0@0&0&1)) ○ 例2：2×3 矩阵所有可能的等价标准形 § (■8(0&0&0@0&0&0)) § (■8(1&0&0@0&0&0)) § (■8(1&0&0@0&1&0)) 12.4 关于初等变换的重要定理 • 定理1：可逆矩阵 A 的等价标准形 D=I ○ D=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t ○ {█(|A|≠0@|P_i |≠0@|Q_j |≠0)┤⇒|D|=|P_1 |…|P_s ||A||Q_1 |…|Q_t |≠0 ○ ∴D=I • 定理2：可逆矩阵 A 可以写成一系列初等矩阵的乘积 ○ A=P_1…P_s IQ_1…Q_t=P_1…P_s Q_1…Q_t • 推论1：A 与 B 等价⇔B=PAQ (其中 P,Q 可逆) ○ B=P_1…P_s 〖AQ〗_1…Q_t=PAQ, 其中 {█(P=P_1…P_s@Q=Q_1…Q_t )┤ • 推论2：可逆矩阵 A 只需初等行变换就可以化成 D=I ○ A=P_1…P_s=P_1…P_s I ○ ⇒P_s^(−1)…P_2^(−1) P_1^(−1) A=I 12.5 用初等变换求逆 • 思路 ○ 对于可逆矩阵 A , 根据推论2 ○ {█(P_1…P_s A=I@A^(−1)=P_1…P_s I)⇒{█(对 A 做一系列初等行变换可以得到 I@对 I 做同样变换可以得到 A^(−1) )┤┤ ○ 即分块矩阵 (■8(A&I))_(n×2n) 可以通过一系列初等行变换得到 (■8(I&A^(−1) ))_(n×2n) • 例：A=(■8(1&0&1@2&0&−1@3&1&2)), 求 A^(−1) ○ (■8(A&I))_(n×2n)=(■8(1&0&1&1&0&0@2&0&−1&0&1&0@3&1&2&0&0&1))_(3×6)→(■8(1&0&1&1&0&0@0&0&−3&−2&1&0@0&1&−1&−3&0&1))→(■8(1&0&1&1&0&0@0&1&−1&−3&0&1@0&0&−3&−2&1&0))→(■8(1&0&1&1&0&0@0&1&−1&−3&0&1@0&0&1&2/3&−1/3&0))→(■8(1&0&1&1&0&0@0&1&0&−7/3&−1/3&1@0&0&1&2/3&−1/3&0))→(■8(1&0&0&1/3&1/3&0@0&1&0&−7/3&−1/3&1@0&0&1&2/3&−1/3&0))=(■8(I&A^(−1) )) ○ ⇒A^(−1)=(■8(1/3&1/3&0@−7/3&−1/3&1@2/3&−1/3&0))$

Shawn Zhong

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