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第13讲矩阵的秩

$13.1 秩的概念 • 定义 ○ 非零子式的最高阶数，记作 r(A) ○ {█(存在 r 阶子式非零@所有 r+1 阶子式都为零)┤⇒{█(r(A)≥r@r(A)≤r)┤⇒矩阵 A 的秩为 r ○ 若 A=0, 则 r(A)=0 ○ 0≤r(A_(m×n) )≤min⁡(m,n) • 例子：A=(■8(1&2&3&4&5@0&6&7&8&9@0&0&0&0&0))⇒r(A)=2 • 满秩 ○ 方阵满秩 § r(A_(n×n) )=n ○ 行满秩 § r(A_(m×n) )=m (m<n) ○ 列满秩 § r(A_(m×n) )=n (n<m) ○ 性质：A 满秩⇔|A|≠0⇔A可逆⇔非奇异⇔非退化 § r(A)=n § ⇒存在 n 阶子式不为零 ,即其自身 § ⇒|A|≠0∎ 13.2 秩的性质 • 定理1 ○ 初等变换不改变秩 ○ 交换两行 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(r_1↔r_2 ) B=(■8(a_21&a_22&a_23@a_11&a_12&a_13 )) § 对于交换到的子式，仅改变符号，不改变非零性 § 即 r(B)=r(A) ○ 用非零 k 乘一行 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 )) →┴(kr_1 ) B=(■8(ka_11&ka_12&ka_13@a_21&a_22&a_23 )) § 包含这一行的子式乘以 k，不改变非零性 § 即 r(B)=r(A) ○ 一行的 l 倍加到另一行 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )) →┴(r_2+lr_1 ) B=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21+la_11&a_22+la_12&a_23+la_13@a_31&a_32&a_33 )) § 对于不包含这两行的子式 □ 如 |■8(a_11&a_12@a_31&a_32 )|，无变化 § 对于两行都包含的子式 □ 如 |■8(a_11&a_12@a_21+la_11&a_22+la_12 )|=|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )|，与原子式相等 § 对于只包含被加行的子式 □ 如|■8(a_21+la_11&a_22+la_12@a_31&a_32 )|=|■8(a_21&a_22@a_31&a_32 )|+l|■8(a_11&a_12@a_31&a_32 )| □ 若r(A)=r，根据上式 B 的 r+1 阶全为零⇒r(B)≤r(A) □ 若将 B 初等变换回 A，同理可以得到 r(A)≤r(B) □ 即 r(B)=r(A) § 综上所述 r(B)=r(A) • 定理2 ○ 乘可逆矩阵不改变秩 ○ A 可逆⇒r(B)=r(AB)=r(BA) 13.3 化阶梯形求秩 • 等价标准形矩阵的秩 ○ D=(■8(I_r&0@0&0))⇒r(D)=r • 阶梯形矩阵 ○ 定义 {█(零行位于下方@每一行的非零首元下方都为零)┤⇔{█(零行位于下方@非零首元逐行靠后)┤ ○ 例子 § (■8(1&2&3@0&4&5@0&0&1)) § (■8(1&2&3&4@0&0&1&2@0&0&0&0)) ○ 练习：列举所有可能的 3×3 的阶梯形矩阵 § 用 ∗ 代表任意元素，用 ! 代表非零元素 § (■8(!&∗&∗@0&!&∗@0&0&!))(■8(!&∗&∗@0&!&∗@0&0&0))(■8(!&∗&∗@0&0&!@0&0&0))(■8(!&∗&∗@0&0&0@0&0&0)) § (■8(0&!&∗@0&0&!@0&0&0))(■8(0&!&∗@0&0&0@0&0&0)) § (■8(0&0&!@0&0&0@0&0&0)) § (■8(0&0&0@0&0&0@0&0&0)) • 定理：阶梯形矩阵的秩就是非零行的个数 • 例1：求 A=(■8(1&0&1&−1&2@2&1&3&−1&6@1&1&2&−2&5@−1&−1&1&0&−1)) 的秩 ○ (■8(1&0&1&−1&2@2&1&3&−1&6@1&1&2&−2&5@−1&−1&1&0&−1))→(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&1&1&−1&3@0&−1&2&−1&1)) ○ →(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&0&0&−2&1@0&0&3&0&3))→(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&0&0&−2&1@0&0&3&0&3))→(■8(1&0&1&−1&2@0&1&1&1&2@0&0&3&0&3@0&0&0&−2&1)) ○ ⇒r(A)=4 • 例2：A=(■8(λ+2&2λ+1&1@1&−1&0@5&4&1))，已知 r(A)=2，求 λ ○ 方法一：行列式 § r(A)=2⇒A不满秩⇒|A|=0 § |■8(λ+2&2λ+1&1@1&−1&0@5&4&1)|=|■8(λ+2&3λ+3&1@1&0&0@5&9&1)| § =−|■8(3λ+3&1@9&1)|=−(3λ+3)+9=0 § ⇒λ=2 § 经检验，此时 r(A)=2 ○ 方法二：初等行变换 § (■8(λ+2&2λ+1&1@1&−1&0@5&4&1))→(■8(1&−1&0@5&4&1@λ+2&2λ+1&1)) § →(■8(1&−1&0@0&9&1@0&3λ+3&1))→(■8(1&−1&0@0&9&1@0&0&1−1/3(λ+1))) § ∵r(A)=2 § ∴ 1−1/3 (λ+1)=0⇒λ=2$

第14讲线性方程组

$14.1 消元解法 • 增广矩阵 ○ 系数矩阵+常数列 • 简化阶梯形 ○ 阶梯形 ○ 非零首元都是1 ○ 首元上下都为零 • 例1：有一组解 ○ {█(2x_1+2x_2−x_3=6@x_1−2x_2+4x_3=3@5x_1+7x_2+x_3=28)┤⇒{█(2x_1+2x_2−x_3=6@−3x_2+9/2 x_3=0@2x_2+7/2 x_3=13)┤⇒{█(2x_1+2x_2−x_3=6@x_2−3/2 x_3=0@13/2 x_3=13)┤⇒{█(x_1=1@x_2=3@x_3=2)┤ ○ (■8(2&2&−1&6@1&−2&4&3@5&7&1&28))⇒(■8(2&2&−1&6@0&−3&9/2&0@0&2&7/2&13))⇒(■8(2&2&−1&6@0&1&−3/2&0@0&0&13/2&13))⇒(■8(1&0&0&1@0&1&0&3@0&0&1&2)) • 例2：无穷多解 ○ {█(2x_1−x_2+3x_3=1@4x_1−2x_2+5x_3=4@2x_1−x_2+4x_3=−1)┤⇒{█(2x_1−x_2+3x_3=1@−x_3=2@x_3=−2)┤⇒{█(2x_1−x_2+3x_3=1@x_3=−2@0=0)┤⇒{█(x_1=7/2+1/2 x_2@x_3=−2)┤ ○ (■8(2&−1&3&1@4&−2&5&4@2&−1&4&−1))⇒(■8(2&−1&3&1@0&0&−1&2@0&0&1&−2))⇒(■8(2&−1&3&1@0&0&1&−2@0&0&0&0)) • 例3：无解 ○ {█(x_1+x_2+x_3=3@x_1+2x_2+x_3=4@x_1+x_3=1)┤⇒{█(x_1+x_2+x_3=3@x_2=1@−x_2=−2)┤⇒{█(x_1+x_2+x_3=3@x_2=1@0=−1)┤ ○ (■8(1&1&1&3@1&2&1&4@1&0&1&1))⇒(■8(1&1&1&3@0&1&0&1@0&−1&0&−2))⇒(■8(1&1&1&3@0&1&0&1@0&0&0&−1)) 14.2 解的情况 • 方程组{█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@ ⋮@ c_rr x_r+…+c_rn x_n=d_r@ 0=d_(r+1)@ 0=0@ ⋮@ 0=0)┤⇒(■(c_11&c_12&…&…&c_1n@&c_22&…&…&c_2n@&&…&…&⋮@&&c_rr&…&c_rn@&&&&0@&&&&0) │■8(d_1@d_2@⋮@d_r@d_(r+1)@0)) 解的情况 1. 若 d_(n+1)≠0⇒无解 § 0=d_(r+1)≠0 矛盾 2. 若 d_(n+1)=0 且 r=n⇒唯一解 § {█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@⋮@ c_nn x_n=d_n )┤ § 从后往前解出后代入可以求得{█(x_n=d_n/c_nn @x_(n−1)=…@⋮@x_1=…)┤ 3. 若 d_(n+1)=0 且 r<n⇒无穷多组解 § {█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@ ⋮@ c_rr x_r+…+c_rn x_n=d_r@ 0=0)┤ § ⇒{█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1r x_r=d_1−c_1n x_n…@⋮@c_rr x_r=d_r−c_rn x_n…)┤，即等式右边均为自由变量 • 用矩阵的秩来表示解的情况 ○ 对于 Ax ⃗=b ⃗，构造增广矩阵 (A,b ⃗ ) ○ 无解 § r(A,b)≠r(A)⇔r(A,b)>r(A)⇔r(A,b)=r(A)+1 ○ 有解 § r(A,b)=r(A) ○ 唯一解 § r(A,b)=r(A)=n ○ 无穷多组解 § r(A,b)=r(A)<n • 齐次线性方程组 Ax ⃗=0 ⃗ ○ 齐次线性方程组一定有零解，故只讨论两种解的情况 ○ 定理1 § 有非零解⇔无穷多解⇔r(A)<n § 只有零解⇔有唯一解⇔r(A)=n ○ 定理2 § 如果方程个数少于未知数个数，则有非零解 § 证明：将方程个数记为 m，则有 r(A)<m<n$

第15讲向量

$15.1 向量及其线性运算 • 什么是向量 ○ 向量 = 矢量 = vector ○ 物理：有大小、方向的量 ○ 几何：有向线段 ○ 代数：有序数组 • 向量的表示 ○ 粗体：α, β, γ ○ 箭头：α ⃗, β ⃗, γ ⃗ ○ 行向量(几何,物理)：α ⃗=(a_1,a_2…a_n ) ○ 列向量(代数)：β ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n ))=(b_1…b_n )^T • 注 ○ 零向量：0 ⃗=(0…0)^T ○ 负向量：−α ⃗=(−a_1,−a_2…〖−a〗_n ) ○ 相等、加法、数乘与矩阵相同 • 线性空间：所有 n 维向量组成的集合，记作 Rn，又称为向量空间 ○ 可定义加法，数乘（对加法、数乘封闭） § α ⃗, β ⃗∈Rn⇒α ⃗+β ⃗∈Rn § k∈R⇒kα ⃗∈Rn ○ 八条性质 1. α ⃗+β ⃗=β ⃗+α ⃗ 2. (α ⃗+β ⃗ )+γ ⃗=α ⃗+(β ⃗+γ ⃗ ) 3. α ⃗+(−α ⃗ )=0 ⃗ 4. α ⃗+0 ⃗=α ⃗ 5. (kl) α ⃗=k(lα ⃗ ) 6. (k+l) α ⃗=kα ⃗+lα ⃗ 7. k(α ⃗+β ⃗ )=kα ⃗+kβ ⃗ 8. 1α ⃗=α ⃗ • 线性子空间：S 是线性空间，且 S⊂Rn ○ 自然满足第1，2，5，6，7，8条性质 ○ 需要验证第3，4条性质，以及是否对加法、数乘封闭，即 § α ⃗∈S⇒┴?−α ⃗∈S § 0 ⃗∈S § α ⃗, β ⃗∈S⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S § α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S ○ 由于后两条包含了前两条，故只需验证 § {█(α ⃗, β ⃗∈S ⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S@α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S)┤ 15.2 向量的点积与叉积 • 点积（内积，点乘） ○ 定义 § α ⃗=(a_1,a_2…a_n )^T, β ⃗=(b_1,b_2…b_n )^T § α ⃗⋅β ⃗=∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n § α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^T β=(a_1,a_2…a_n )(■8(b_1@b_2@⋮@b_n ))=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n ○ 性质 § 交换律：α ⃗⋅β ⃗=β ⃗⋅α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )⋅β ⃗=α ⃗⋅(kβ ⃗ )=k(α ⃗⋅β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )⋅γ ⃗=α ⃗⋅γ ⃗+β ⃗⋅γ ⃗ § α ⃗⋅α ⃗=α ⃗^2≥0 § (α ⃗+β ⃗ )^2=α ⃗^2+β ⃗^2+2α ⃗⋅β ⃗ • 向量的长度（范数） ○ 定义 § ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗^2 )=√(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ) § ‖(■8(AB)) ⃗ ‖=√((x_B−x_A )^2+(y_B−y_A )^2+(z_B−z_A )^2 ) ○ 性质1：‖■8(α ⃗ )‖≥0 § ‖■8(α ⃗ )‖=0⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 性质2：‖■8(kα ⃗ )‖=|k|⋅‖■8(α ⃗ )‖ § 证明略 ○ 性质3：|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § 柯西-施瓦茨不等式 § 施瓦茨不等式 § 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § |∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗|≤√(∑_(i=1)^n▒a_i^2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i^2 ) § 构造 γ ⃗=α ⃗+kβ ⃗ (k∈R § 则 γ ⃗^2=(α ⃗+kβ ⃗ )^2=α ⃗^2+k^2 β ⃗^2+2kα ⃗⋅β ⃗≥0 恒成立 § 看作以 k 为未知数的方程，有 Δ=(2α ⃗⋅β ⃗ )^2−4α ⃗^2⋅β ⃗^2≤0 § (α ⃗⋅β ⃗ )^2≤α ⃗^2⋅β ⃗^2 § ⇒|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § （亦可用用均值不等式证明） • 向量的夹角 ○ 定义 § 根据余弦定理 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § 又因为 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=(■8(α ⃗−β ⃗ ))^2=α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^2+β ⃗^2+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ （此为几何学的内积定义） § ⇒cos⁡θ=(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ § （柯西不等式保证了−1≤(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ ≤1 ○ 正交（垂直） § θ=π/2⇔α ⃗⋅β ⃗=0 • 叉积（在 R3 中） ○ 几何定义 § {█(大小:‖■8(γ ⃗ )‖=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ sin⁡θ@方向:通过右手法则判断)┤⇒α ⃗×β ⃗=γ ⃗ ○ 代数定义 § α ⃗×β ⃗=(|■8(a_2&a_3@b_2&b_3 )|,−|■8(a_1&a_3@b_1&b_3 )|,|■8(a_1&a_2@b_1&b_2 )|) § α ⃗×β ⃗=|■8(i ̂&j ̂&k ̂@a_1&a_2&a_3@b_1&b_2&b_3 )|, 其中{█(i ̂=(1,0,0)@j ̂=(0,1,0)@k ̂=(0,0,1))┤ ○ 性质 § 反交换律：α ⃗×β ⃗=−β ⃗×α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )×β ⃗=α ⃗×(kβ ⃗ )=k(α ⃗×β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )×γ ⃗=α ⃗×γ ⃗+β ⃗×γ ⃗ 15.3 空间中的直线与平面 • 空间中的直线 ○ 已知空间内一点 P，以及方向 α ⃗，假设直线上有一点 P_0 ○ 则直线方程可以用向量形式写为 § P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ (k∈R) ○ 也可以写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),α ⃗=(a_1,a_2,a_3) ○ 可以得到直线的参数方程（显式） § {█(x=x_0+ka_1@y=y_0+ka_2@z=z_0+ka_3 )┤ ○ 将 k 约去可以得到直线的标准方程（隐式） § (x−x_0)/a_1 =(y−y_0)/a_2 =(z−z_0)/a_3 • 例1：求过空间内两点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2) 的直线方程 ○ α ⃗=(P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ○ ⇒P ⃗=(P_1 ) ⃗+k((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) ○ ⇒{█(x=x_1+k(x_2−x_1)@y=y_1+k(y_2−z_1)@z=z_1+k(z_2−z_1))┤ ○ ⇒(x−x_1)/(x_2−x_1 )=(y−y_1)/(y_2−y_1 )=(z−z_1)/(z_2−z_1 ) • 空间中的平面 ○ 确定一个平面需要平面上一个点 P_0 和该平面的法向量 β ⃗ ○ 则平面的方程可以用向量表示为 § (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 ○ 写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),β ⃗=(b_1,b_2,b_3 ) ○ 可以得到平面方程的标准形式（点法式） § b_1 (x−x_0 )+b_2 (y−y_0 )+b_3 (z−z_0 )=0 ○ 展开后可以得到平面的一般方程 § b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0 § 其中 c=−〖b_1 x〗_0−b_2 x_0−b_3 x_0 • 线性子空间 ○ 直线 § 若空间内的直线过原点 § 则直线方程 P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ 可以化为 P ⃗=kα ⃗ § 对于直线上任意两点 (P_1 ) ⃗=k_1 α ⃗ , (P_2 ) ⃗=k_2 α ⃗ ，可以得到 § (P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗=(k_1+k_2)α ⃗ , t(P_1=) ⃗〖(tk〗_1)α ⃗ § 即过原点的直线方程对加法封闭 § 故过原点的直线是 R3 的子空间 ○ 平面 § 若空间内的平面过原点 § 则平面方程 (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 可以化为 P ⃗⋅β ⃗=0 § 对于平面上任意两点 (P_1 ) ⃗⋅β ⃗=0 , (P_2 ) ⃗⋅β ⃗=0 ，可以得到 § ((P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 , (k(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § 即过原点的平面方程对加法封闭 § 故过原点的平面是 R3 的子空间 • 例2：求过三点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2), P_3 (x_3,y_3,z_3 ) 的平面方程 ○ 法1：克莱姆法则 § {█(b_1 x_1+b_2 y_1+b_3 z_1+c=0@b_1 x_2+b_2 y_2+b_3 z_2+c=0@b_1 x_3+b_2 y_3+b_3 z_3+c=0@b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0)┤ 有非零解 § ⇒|■8(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x&y&z&1)|=0 ○ 法2：向量法 § β ⃗=((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ )×((P_3 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) § =(x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1 )×(x_3−x_1,y_3−y_1,z_3−z_1 ) § =|■8(i ̂&j ̂&k ̂@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=(A_11,A_12,A_13) § (P ⃗−(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § ⇒(x−x_1 ) A_11+(y−y_1 ) A_12+(z−z_1 ) A_13=0 § ⇒|■8(x−x_1&y−y_1&z−z_1@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=0$

第16讲向量组

$16.1 线性组合与线性表示 • 线性方程组用向量形式表示 ○ Ax ⃗=b ⃗ ○ ((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ x_1 (a_1 ) ⃗+…+x_n (a_n ) ⃗=b ⃗ ○ 将 b ⃗ 称为向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性组合 ○ 亦可表述为 b ⃗ 被向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表示（表出） • 定理 ○ 对于 A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )_(m×n), β ⃗=Ax ⃗ ○ 若 r(A)=r(A,β ⃗)，则 β ⃗ 可以被 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表出 • 例1：0 ⃗ 可以被任意向量线性表出 ○ 0 ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 例2：任意 α ⃗∈Rn 可以被 (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0))…(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) ○ α ⃗=(■8(a_1@⋮@a_n ))=a_1 (e_1 ) ⃗+a_2 (e_2 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗ ○ 注： (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 被称为初始单位向量组 • 例3：(a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 可以线性表出 (a_i ) ⃗ ○ (a_i ) ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+…+1⋅(a_i ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 向量组线性表示另一个向量组 ○ 将 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 记作 (B)，(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 记作 (A) ○ 若 (B) 中的每个向量都可以被 (A) 线性表示 ○ 则称 (B) 可以被 (A) 线性表示 • 向量组等价 ○ 反身性：(A) 与 (A) 等价 § (A) 可以用 (A) 线性表示 ○ 对称性：(A) 与 (B) 等价⇔(B) 与 (A) 等价 (A) 可以用 (B) 线性表示 ⇔ (B) 可以用 (A) 线性表示 ○ 传递性：若 (A) 与 (B) 等价，且 (B) 与 (C) 等价，则 (A) 与 C 等价 § 若 (B) 可以被 (A) 线性表示，且 (C) 可以被 (B) 线性表示 § 则 (C) 可以被 (A) 线性表示 ○ 故向量组等价是一种等价关系 16.2 线性相关性 • 定义 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ ○ 若上式存在 k_1…k_n 不全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 若上式解得 k_1…k_n 全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 缩写 ○ 线性相关：Linearly Independent，简写为 LI ○ 线性无关：Linearly Dependent，简写为 LD • 例1：一个向量的相关性 ○ 一个向量 α ⃗ 线性相关 ⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 一个向量 α ⃗ 线性无关 ⇔ α ⃗≠0 ⃗ • 例2：0 ⃗,(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 1⋅0 ⃗+0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ • 例3：两个非零向量 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗ 线性相关 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗=0 ⃗ ○ k_1,k_2 中必有一个不为零，若 k_1≠0 ○ 则 (a_1 ) ⃗=−k_2/k_1 (a_2 ) ⃗ ○ 即两个向量成比例 • 定理 ○ 要判断 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性相关性 ○ 即解齐次线性方程组 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ 有非零解 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 r(A)<n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 r(A)=n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 例4：求向量组 (■8(1@2@−1@5)),(■8(2@−1@1@1)),(■8(4@3@−1@11)) 的线性相关性 ○ 构造 A=(■8(1&2&4@2&−1&3@−1&1&−1@5&1&11))，消为阶梯形得 (■8(1&2&4@0&−5&−5@0&0&0@0&0&0)) ○ r(A)=2<3 • 推论1 ○ (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 是 n 个 n 维向量 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 |A|=0 时，矩阵不满秩，即 r(A)<n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 |A|≠0 时，矩阵满秩，即 r(A)=n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 推论2 ○ 向量个数大于维数，则线性相关 ○ r(A)≤维数<n 16.3 相关性定理 • 定理1 ○ 内容 § 若部分组线性相关，则原向量组线性相关 ○ 证明 § 原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 中取出部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 若部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，即 § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+0⋅(a_(s+1) ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ § 即原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 逆反 § 若原向量组线性无关，则部分组都线性无关 • 定理2 ○ 内容 § 若砍掉部分分量后线性无关，则原向量组线性无关 ○ 逆反 § 原向量组线性相关，则砍掉部分分量后线性相关 ○ 例 § (■8(1@0@5))与(■8(0@1@2))线性无关，由于 (■8(1@0))与(■8(0@1))线性无关 • 定理3 ○ 内容 § 向量组线性相关，则其中至少一个向量可被其他线性表示 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关，则必定存在 § (a_i ) ⃗=k_1 (a_1 ) ⃗+…+k_(i−1) (a_(i−1) ) ⃗+k_(i+1) (a_(i+1) ) ⃗+…k_s (a_s ) ⃗ ○ 证明 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关 § 则 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ 其中必有一个 k_i≠0 § 移项得 (a_i ) ⃗=−k_1/k_i (a_1 ) ⃗…−k_s/k_i (a_s ) ⃗ • 定理4 ○ 内容 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关，加上 β ⃗ 后的向量组 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 则 β ⃗ 可被 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性表出，且表示方法唯一 ○ 证明可以被线性表出 § (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 即 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+k_(s+1) β ⃗=0 ⃗ § 若 k_(s+1)=0，则 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，与题设矛盾 § 即 k_(s+1)≠0 § ⇒β ⃗=−k_1/k_(s+1) (a_1 ) ⃗…−k_s/k_(s+1) (a_s ) ⃗ ○ 证明唯一性 § 若 β ⃗ 有两种表示方法 § β ⃗=l_1 (a_1 ) ⃗+…+l_s (a_s ) ⃗ § β ⃗=m_1 (a_1 ) ⃗+…+m_s (a_s ) ⃗ § 分别相减得 § 0 ⃗=(l_1−m_1 ) (a_1 ) ⃗+…(l_s−m_s ) (a_s ) ⃗ § ∵(a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关 § ∴{█(l_1−m_1=0@⋮@l_s−m_s=0)┤⇒{█(l_1=m_1@⋮@l_s=m_s )┤ § 即 β ⃗ 的表示方法唯一 • 定理5 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 t s，则 (B) 线性相关 ○ 证明略 ○ 逆反 § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 (B) 线性无关，则 t≤s • 推论 ○ 内容 § 若 (B) 与 (A) 等价，且线性无关，则 s=t ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 线性表示 ⇒t≤s § (A) 可以被 (B) 线性表示 ⇒s≤t § 即 s=t$

第17讲向量组的秩

$17.1 极大无关组 • 定义 ○ 部分组线性无关，且加上任何一个向量后即线性相关 • 例子 ○ (■8(0@1)),(■8(1@0)),(■8(1@1)) 中的极大无关组为 (■8(0@1)),(■8(1@0)) 和 (■8(1@0)),(■8(1@1)) 和 (■8(0@1)),(■8(1@1)) • 性质 ○ 极大无关组不一定唯一 ○ 向量组线性无关，则其极大无关组为自身 ○ 如果向量组只有 0 ⃗ ，则不存在极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § 极大无关组与原向量组等价 ○ 证明 § 显然极大无关组可以被原向量组表示 § 以下证明原向量组可以被极大无关组表示 § 将原向量组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗，极大无关组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 从原向量组中取出 (α_i ) ⃗ § 若 i≤s，则显然 (α_i ) ⃗ 可以被极大无关组表出 § 若 i s，根据定义，极大无关组加上一个向量后即线性相关 § 即 (α_i ) ⃗=k_1 α ⃗_1+…+k_s α ⃗_s • 定理2 ○ 任意两个极大无关组的向量个数相同 ○ 证明可由第16讲定理5的推论得到 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 定理3： ○ 内容 § 任何一个线性无关的部分组都可扩充为极大无关组 ○ 极大无关组的一种求法 § 可以先从向量组中取出一个非零向量 § 再依次添加所有线性无关向量 § 既可以通过扩充的方法得到极大无关组 • 定理4 ○ 内容 § 若部分组线性无关，且向量个数=秩，则部分组就是极大无关组 ○ 证明 § 假设部分组不是极大无关组 § 则添加某向量后部分组仍旧线性无关 § 即向量个数大于秩，矛盾 § 故部分组就是极大无关组 • 练习：求 (α_1 ) ⃗=(■8(2@4@2)),(α_2 ) ⃗=(■8(1@1@0)),(α_3 ) ⃗=(■8(2@3@1)),(α_4 ) ⃗=(■8(3@5@2)) 的极大无关组 ○ 构造 A=((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗,(α_3 ) ⃗,(α_4 ) ⃗)=(■8(2&1&2&3@4&1&3&5@2&0&1&2)) ○ 由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系 ○ A→(■8(2&1&2&3@0&−1&−1&−1@0&0&0&0))→(■8(1&0&1/2&1@0&1&1&1@0&0&0&0))=((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗,(β_3 ) ⃗,(β_4 ) ⃗) ○ 显然 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((β_3 ) ⃗=1/2 (β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗@(β_4 ) ⃗=(β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗ )┤ ○ 故 (α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((α_3 ) ⃗=1/2 (α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗@(α_4 ) ⃗=(α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗ )┤ 17.2 向量组的秩与矩阵的秩 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 矩阵的秩 ○ 非零子式的最高阶数 • 列秩（列向量组的秩） ○ A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) • 行秩（行向量组的秩） ○ A=(■8((β_1 ) ⃗@⋮@(β_n ) ⃗ )) • 定理 ○ 内容 § r(A)=行秩=列秩 ○ 证明列向量组线性无关 § A=(■8(a_11&…&a_1r&…&a_1n@…&…&…&…&…@a_r1&…&a_rr&…&…@…&…&…&…&…@a_m1&…&…&…&a_mn )) § 假设 r(A)=r，即存在 r 阶子式不为零 § 假设 r 阶子式位于左上方，即 |■8(a_11&…&a_1r@…&…&…@a_r1&…&a_rr )|≠0 § ⇒向量组(■8(a_11@⋮@a_r1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr )) 线性无关 § 即向量组 (■8(a_11@⋮@a_r1@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr@⋮@a_mr )) 线性无关 ○ 证明列向量组极大 § 即证明 (■8(a_11@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_mr )),(■8(a_(1,r+1)@⋮@a_(m,r+1) )) 线性相关 § 假设线性无关 § 构造 A_r=(■8(a_11&a_12&…&a_(1,r+1)@a_21&a_22&…&a_(2,r+1)@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_(m,r+1) )) § 由于线性无关，有 r(A_r )=r+1 § 即 A_r 存在 r+1 阶的子式非零 § 因为 A_r 取自 A，所以 A 也存在 r+1 阶的子式非零 § 与 r(A)=r 矛盾 § 即列向量组是极大无关组 ○ 同理可证 r(A)=行秩 17.3 关于秩的重要定理 • 定理1 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，则 r(B)≤r(A) ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 表出 § (B) 的极大无关组可以被 (A) 的极大无关组表出 § r(B)≤r(A) ○ 推论 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (A) 与 (B) 等价，则 r(B)=r(A) • 定理2 ○ 内容 § 对于矩阵 A_(m×n), B_(n×p)，有 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=(■8(b_11&…&b_1p@⋮&⋮&⋮@b_n1&…&b_np )) § AB=(b_11 (α_1 ) ⃗+…b_n1 (α_n ) ⃗ … b_1p (α_1 ) ⃗+…b_np (α_n ) ⃗ )=((γ_1 ) ⃗…(γ_p ) ⃗ ) § 即 (γ_i ) ⃗ 可以表示为 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的线性组合 § (γ_i ) ⃗=k_i1 (α_1 ) ⃗+…+k_in (α_n ) ⃗ § 根据定理1， r(AB)≤r(A) § 同理 r(AB)≤r(B) § 即 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) • 定理3 ○ 内容 § 假设 A 可逆，则 r(AB)=r(B), r(CA)=r(C) ○ 证明 § 由定理2可得 r(AB)≤r(B) § 又因为 r(B)=r(A^(−1) AB)≤r(AB) § 所以 r(AB)=r(B) § 同理可证 r(CA)=r(C) • 定理4 ○ 内容 § r(A+B)≤r(A)+r(B) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=((β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § A+B=((α_1 ) ⃗+(β_1 ) ⃗,…,(α_n ) ⃗+(β_n ) ⃗ ) § r(A+B)≤r(A,B)=r((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § 若 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的极大无关组为 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗，(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 的极大无关组为(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ § r(A+B)≤r((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ )≤s+t=r(A)+r(B) • 定理5：西尔维斯特(Sylvester)不等式 ○ 内容 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n ○ 证明 § r(A)+r(B)=r(■8(A&0@0&B))≤r(■8(A&0@−I&B)) § =r(■8(A&AB@−I&0))=r(■8(0&AB@−I&0))=r(AB)+r(−I)=r(AB)−n § 即 r(AB)≥r(A)+r(B)−n • 推论 ○ 内容 § A 列满秩 ⇒ r(AB)=r(B) § A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C) ○ 证明 § A 列满秩 ⇒ r(A_(m×n) )=n § r(AB)≤r(B) § r(AB)≥r(A)+r(B)−n=r(B) § ⇒r(AB)=r(B) § 同理可证 A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C)$

Shawn Zhong

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