第10讲 循环群与阶

循环群 • 定义 ○ 选定一个群 G ○ 定义一个循环群是由一个元素所生成的群 • 定理 ○ 命题 § 如果 C=⟨a⟩ 那么对于任意元素 b∈C § 总存在正整数 n 使得 b=a^n 或 b=(a^(−1) )^n ○ 证明 § 令 H={⋯,(a^(−1) )^2,a(−1),e,a,a^2,⋯}，可以证明 H≤C § 另一方面，根据生成的定义 § C=所有包含 a 的子群的交集，即 C≤H § 即由 a 生成的循环群 C=H={⋯,(a^(−1) )^2,a(−1),e,a,a^2,⋯} • 推论：循环群都是阿贝尔群（即循环群里的乘法都是交换的） ○ 证明略 • 记号 ○ (a^(−1) )^n=a(−n) ○ a^n a^m=a(n+m) ○ (a^n )^(−1)=a(−n) 阶 • 定义 ○ 对于 G 里的元素 a ○ 定义 a 的阶为最小的正整数 n 使得 a^n=1 ○ 我们用 o(a)=n 表示 ○ 注：阶不一定对所有的元素都存在，比如(Z+) 中的 1 • 定理 ○ 命题 § 如果 C=⟨a⟩ § 那么 C 是有限群当且仅当 o(a) 存在 § 并且在这种情况下 |C|=o(a) ○ 证明：假设 o(a) 存在 § 令 H={a,a^2,…,ao(a) } § 可以证明 H 是一个群 § 根据循环群的定义，C≤H § 因为 H 是有限群，故 C 也是一个有限群 ○ 证明：假设 C 是一个有限群 § 在序列 a,a^2,a3,… 中 § 根据抽屉原理，必然存在 n,m 使得 a^n=am § 不失一般性地，假设 n<m § (a^(−1) )^n a^n=(a(−1) )^n a^m § e=a^(m−n) § 存在正整数 k 使得 a^k=e § 即 o(a) 存在 ○ 证明：|C|=o(a) § C={a,a^2,…,ao(a) } § 要证明 C 中的元素互不相同 § 假设 a^n=am，并且不失一般性地，n<m § ⇒e=a^(m−n) § 即 m−n<o(a) 和 o(a) 的定义矛盾 § 故 C 中的元素互不相同 § 即 |C|=o(a) • 推论：如果 G 是一个有限群，那么它的任意元素 a 的阶 o(a) 都存在 ○ o(a)=|C| ○ 因为 C≤G ○ 所以 |C|<|G|<∞ ○ 故 o(a) 存在 • 定义 ○ 一个有限群的阶就是该群的元素个数，记为 |G| • 练习 ○ 证明 (Z+) 里面的任意子群都是循环群