第11讲 陪集与指数

陪集 • 定义 ○ 令 G 为任意群，H 为 G 的子群 ○ 在 G 上面有两个等价关系 § a ~┬L b 当且仅当 a^(−1) b∈H § a ~┬R b 当且仅当 ab^(−1)∈H ○ ~┬L 的等价类被称为 H 在 G 里的左陪集，记之为 aH=[a] ○ ~┬R 的等价类被称为 H 在 G 里的右陪集，记之为 Ha=[a] • 定理：~┬L, ~┬R 都是 G 上的等价关系 ○ 证明以 ~┬L 为例 ○ 自反性 § ∀a∈G, a^(−1) a=e∈H § ⇒a ~┬L a ○ 对称性 § 假设 a ~┬L b⇒a^(−1) b∈H § （a^(−1) b）^(−1)=b(−1) a∈H § ⇒b ~┬L a ○ 传递性 § 假设 a ~┬L b, b ~┬L c § ⇒a^(−1) b∈H, b^(−1) c∈H § ⇒(a^(−1) b)(b^(−1) c)=a^(−1) (bb^(−1) )c=a^(−1) ec=a^(−1) c∈H § ⇒a ~┬L c ○ 故 ~┬L 是定义在 G 上的等价关系 • 定理：aH={ah|h∈H}, Ha={ha|h∈H} ○ 证明以左陪集为例 ○ 先证 aH⊆{ahhH} § 令 b∈aH={x|a ~┬L x} § 即 a ~┬L b § ⇒a^(−1) b∈H § 令 a^(−1) b=h § ⇒a(a^(−1) b)=ah § ⇒b=ah § 故 aH⊆{ahhH} ○ 再证 {ahhH}⊆aH § ⇔a ~┬L ah § ⇔a^(−1) (ah∈H § ⇔h∈H § 显然为真 ○ 故 aH={ahhH} • 记号 ○ 如果 S,S^′⊆G，一般定义 SS^′={ss′ |s∈S,s^′∈S′} ○ 那么 aH={a}H, Ha=H{a} • 定理：|aH|=|H|=|Ha| ○ 证明以左陪集为例 ○ 要证明 |aH|=|H| 即证 aH 与 H 之间存在双射 ○ 构造 f:H→aH, h↦ah ○ 根据 aH 的定义，可以看出 f 是一个满射 ○ 需证 f 是一个单射 ○ 假设 f(h=f(h) ○ 根据定义 ah=ah′ ○ ⇒a^(−1) ah=a^(−1) ah′ ○ ⇒h=h′ ○ 即 f 是一个单射 • 定理：对于任意子集 S⊆G，|aS|=|S|=|Sa| 指数 • 定义 ○ 如果一个子群 H≤G 只有有限多个左陪集/右陪集 ○ 那么 H 的指数为左陪集/右陪集的数目 ○ 记作 |G:H| • 定理：对于 H≤G，H 的左陪集和右陪集有着一一对应 ○ 令 L={H 的左陪集}，R={H 的右陪集} ○ 构造 f:L→R, aH↦〖Ha〗^(−1) ○ 证明 f 定义良好 § 假设 aH=bH § 则 a ~┬L b⇒a^(−1) b∈H § a^(−1) (b^(−1) )^(−1)∈H § ⇒a^(−1) ~┬R b^(−1) § 故 〖Ha〗^(−1)=Hb(−1) § 即 f 定义良好 ○ 明显地 f 是一个满射 ○ 要证明 f 是一个单射 § 假设 f(a)=f(b), Ha^(−1)=Hb(−1) § ⇒a^(−1) ~┬R b^(−1) § ⇒a^(−1) (b^(−1) )^(−1)∈H § ⇒a^(−1) b∈H § ⇒a ~┬L b § 所以 aH=bH § 即 f 是一个单射 ○ 所以 f 是一个双射 • 练习 ○ 请算出 |Z:nZ|