第12讲 拉格朗日定理

拉格朗日定理 • 定理： ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，H≤G § 那么 |G| 能被 |H| 整除 ○ 证明 § 在 H≤G 中构造 ~┬L § 对 G 进行等价类分割，有 § G=⋃8_(a∈G)▒aH § 又知道 aH 之间互不相交，|aH|=|H| § 可以得到 |G|=∑_(a∈G)▒|aH| =|H| 的倍数 • 推论：如果 H≤G，G 是有限群，那么 |G|=|H||G:H| ○ 证明略 • 推论 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，而且 |G|=p 是一个质数 § 那么 G 只有两个子群：平凡群和 G § 并且 G 是一个 p 阶循环群 ○ 证明 § |G|=|H||G:H|=p § 如果 |H|=p, |G:H|=1⇒H=G § 如果 |H|=1, |G:H|=p⇒H={e} § 让 x 为 G 里的任意非恒等元素 G=⟨x⟩ § 故 G 是一个 p 阶循环群 • 推论 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，那么对于任意 a∈G § 总有 o(a) 整除 |G|，并且 a^|G| =e ○ 证明 § 构造循环群 C=⟨a⟩，则 C≤G § 所以 |C|=o(a) 整除 |G| § 记为 |G|=o(a)⋅n § a^|G| =a^(o(a)⋅n)=en=e • 推论 ○ 命题 § 如果 p 是一个质数，a 是一个整数 § 那么 a^p≡a mod p ○ 证明 § 如果 p 整除 a，命题显然成立 § 如果 p 不能整除 a § 构造 Z/p 的子集 (Zp)^∗={1,2,…,p−1} § 那么 [a]∈(Zp)^∗ § 定义乘法 [a]×[b]=[a×b] § ((Zp)^∗,×) 构成一个有限群，且阶为 p−1 § 所以 [a]^(p−1)=[1] § ⇒[a]^p=[a] § 即 a^p≡a mod p ○ 注：又叫费马小定理 • 推论 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，H,K 是 G 的子群 § HK={h�|hH,k∈K} § 那么 |HK|=|H||K|/|H∩K| ○ 证明 § 首先 HK=⋃8_(hH)▒h § |h|=|K|⇒|HK|/|K| 是一个整数 § 我们要找出 hK 重复了多少次 § 观察到 hK=h′ K 当且仅当 h ~┬L h′⟺h(−1) h′∈K § 但 h(−1) h∈H，所以 h(−1) h∈H∩K § 所以 h(H∩K)=h′ (H∩K) 是 H 里的同一个左陪集 § 所以这个整数即 |H:H∩K|=|H|/|H∩K| § ⇒|HK|/|K| =|H|/|H∩K| § 即 |HK|=|H||K|/|H∩K|