第13讲 共轭与正规子群

共轭 • 定义 ○ 当 G 是一个群，a,b∈G ○ a 与 b 共轭当且仅当存在 g∈G，使得 a=〖gbg〗^(−1) • 定理：共轭是一个等价关系 ○ 定义 a~b 当且仅当 a 与 b 共轭 ○ 自反性 § 注意到 a=〖aaa〗^(−1) § 所以 a~a ○ 对称性 § 如果 a~b⇒a=〖gbg〗^(−1) § g^(−1) ag=g^(−1) (〖gbg〗^(−1) )g § ⇒g^(−1) a(g^(−1) )^(−1)=b § 即 b~a ○ 传递性 § 如果 a~b, b~c § 可以找到 g,h 使得 a=〖gbg〗^(−1), b=hch(−1) § a=〖gh�h^(−1) g^(−1) § a=(ghc(gh^(−1) § ⇒a~c ○ 所以共轭是一个等价关系 • 共轭类 ○ 共轭在 G 上有等价类分割 ○ 定义共轭对应的等价类为共轭类 • 子集的共轭 ○ 令 S⊆G ○ 定义 S 在元素 g∈G 下的共轭为集合 〖gSg〗^(−1)={gsg(−1) |s∈S} • 定理：|gSg^(−1) |=|S| ○ |S|=|gS|=|gSg^(−1) | • 共轭子群 ○ 当 H≤G，我们称 〖gHg〗^(−1) 为 H 的共轭子群 • 练习 ○ 证明 〖gHg〗^(−1) 的子群 ○ 即检验对乘法的封闭性和群的三个条件 正规子群 • 定义 ○ 一个 G 的子群 N 是正规子群当且仅当 N 的共轭子群只有一个 ○ 记作 N⊴G ○ 注：N=〖eNe〗^(−1) 恒成立，即 N 总是 N 自身的共轭子群 • 定理 ○ 下面的命题等价 1. N 是 G 的正规子群，即 N⊴G 2. N 里面的元素的共轭都在 N 里，即 ∀a∈N, 〖gag〗^(−1)∈N 3. N 是一个共轭类的并集 4. 对于任意元素 g∈G， gN=Ng ○ 证明 1⟺2 § 根据共轭的定义，∀a∈N, 〖gag〗^(−1)∈gNg(−1)=N § 反过来如果 N 里的每个元素在 g 的共轭都在 N 里的话 § 那么 〖gNg〗^(−1)≤N § N=g^(−1) 〖gNg〗^(−1) (g^(−1) )^{(−1)≤〖gNg〗}(−1)≤N § 故 N 的共轭子群只有 N 一个 ○ 证明 2⟺3 § 3⇒2 显然 § 以下证明 2⇒3 § 令 a∈N，那么 [a]⊆N § ⇒⋃8_(a∈N)▒[a] ⊆N § 另一方面，每个元素都会出现在它的共轭类内 § ⇒N⊆⋃8_(a∈N)▒[a] § 故 N=⋃8_(a∈N)▒[a] ○ 证明 1⟺4 § 〖gNg〗^(−1)=N⟺gN=Ng • 定理：如果 H≤G，N⊴G，那么 HN 以及 NH 都是 G 的子群 ○ 证明以 HN 为例 ○ 封闭性 § 让 hn, h′ n′ 为 HN 里的任意元素 § 考虑 （h(′−1) ）n（h(′−1) ）^(−1)=（h(′−1) ）nh′ § 因为 N 是一个正规子群，令 n^′′=（h(′−1) ）nh′∈N § 同时左乘 h′ 得 h′ n^′′=h′（h(′−1) ）nh′ § ⇒〖nh^′=h′ n^′′ § 考虑 (h�)(h′ n^′ )=h(nh′ ) n^′=h(h′ n^′′ ) n^′=(h′ )(n^′′ n′)∈HN § 所以 HN 在乘法下封闭 ○ 结合律 § 直接从 G 得到 ○ 恒等元素 § e=e⋅e∈HN ○ 逆元素 § ∀hn∈HN § (h�)(h′ n^′ )=(h^′ )(n^′′ n′) § 令 h′=h(−1), n^′=(n′′ )^(−1)=（(h′ )^(−1) nh′ ）^(−1) § 则 (h�)(h′ n^′ )=e，且可以验证 h′ n^′∈HN • 简单群 ○ 一个群 G 是一个简单群当且仅当 G 里不存在非平凡的正规真子群 • 练习 ○ 请证明指数为 2 的子群都是正规子群 ○ 请证明阿贝尔群的任意子群都是正规子群 ○ 请证明如果 |G|=p 是一个质数那么 G 是一个简单群