第14讲 商群

商群 • 定理：如果 G 是一个群，N⊴G，那么 (aN)（bN）=(ab)N ○ (aN)（bN）=aNbN=abNN=abN=（ab）N • 定理：令 G\N={aN|a∈G}，则 (G/N,∗) 是一个群 ○ 封闭性 § 两个 N 的陪集相乘，结果仍旧是 N 的陪集 ○ 结合律 (aN∗bN)∗cN=aN∗(bN∗cN) § 左边 =（abN）(cN)=(abc)N § 右边 =（aN）(bcN)=(abc)N § 所以左边 = 右边 ○ 恒等元素 § 即 N=eN 本身 ○ 逆元素 § aN 的逆元素是 a^(−1) N • 定义 ○ 如果 N⊴G，那么我们称 G\N 为 G 的一个商群 • 练习 ○ 如果 G 是一个阿贝尔群，N≤G，那么 G\N 也是阿贝尔群 ○ 对于任意有限群 G，N⊴G，那么 |G|=|N||G/N| 柯西定理 • 柯西定理 ○ 如果 G 是一个有限群，并且 |G| 能被质数 p 整除 ○ 那么 G 里存在一个 p 阶循环子群 • 证明 ○ 将对 |G| 进行数学归纳法 ○ 当 |G|=1 时，成立，无需任何证明 ○ 假设命题对于所有阶小于 |G| 的群都成立 ○ 当 |G|=p 时，显然成立 ○ 当 |G|p 时，选取非恒等元素 x∈G，考虑 o(x) ○ 如果 p 整除 o(x)，让 o(x)=pn，则 o(x^n )=p，命题成立 ○ 如果 p 不整除 o(x)，令 N=⟨x⟩ ○ G\N 是一个有限阿贝尔群，且 |G/N|=|G|/|N| |G| ○ 对 G\N 使用归纳假设，存在一个陪集 yN，且 o(yN)=p ○ 所以 y∉N，且 (yN)^p=N⇒yp N=N⇒y^p∈N ○ 考虑 ⟨y^p ⟩≤⟨y⟩，且 ○ 故 ⟨y^p ⟩⟨y⟩ ○ 可以计算得到 |⟨y⟩:⟨y^p ⟩|=p ○ 即 ⟨y^p ⟩ 是 ⟨y⟩ 里一个指数为 p 的子群 ○ 根据拉格朗日定理 o(y)=|⟨y⟩|=|⟨y^p ⟩||⟨y⟩:⟨y^p ⟩| ○ 所以 o(y) 能被 p 整除