第15讲 同态与同构

群同态 • 定义 ○ 如果 G 与 G′ 是两个群 ○ 那么 f:G→G′ 是一个群同态，当且仅当 ○ 对于任意 a,b∈G, f(a)f(b)=f(ab) ○ 注：群同态是保留了群代数结构的一种映射 • 例1 ○ (R+) ○ （S^1={z∈ℂ│|z|=1},×） ○ 映射 f:R→S^1, r↦e^ir 是一个群同态 • 例2 ○ 如果 H≤G ○ 包含映射 i:H→G, a↦a 是一个群同态 • 例3 ○ 如果 N⊴G ○ 投影映射 p:G→G\N, a↦aN 是一个群同态 • 定理：如果 f:G→G′ 是一个群同态，那么 f(e)=e^′ ○ 考虑 （f(e)）^2=f(e2 )=f(e) ○ 同时左乘 (f(e))^(−1) 得到 ○ (f(e))^(−1) （f(e)）^2=(f(e))(−1) f(e) ○ ⇒f(e)=e′ • 定理：对于任意 a∈G, (f(a))^(−1)=f(a(−1) ) ○ (f(a))^(−1) f(a)=e^′=f(e)=f(a(−1) a)=f(a^(−1) )f(a) ○ 同时右乘 (f(a))^(−1) 得到 ○ (f(a))^(−1)=f(a(−1) ) • 练习 ○ 如果 f:G→G′ 是一个群同态，H≤G, H^′≤G′ ○ 那么 f(H)≤G^′, f^(−1) (H^′ )≤G • 定理 ○ 命题 § 如果 f:G→G′ 是一个群同态，且 g:G^′→G′′ 是群同态 § 那么 g∘f:G→G′′ 也是一个群同态 § 即同态的复合也是同态 ○ 证明 § ∀a,b∈G § (g∘f)(ab)=g(f(ab))=g(f(a)f(b)) § =g(f(a))g(f(b))=(g∘f)(a)(g∘f)(b) 群同构 • 定义 ○ 一个群同态 f:G→G′ 是一个群同构 ○ 当且仅当 f 是一个双射 ○ 注：群同构是双射的群同态 • 记法 ○ 当 G 与 G′ 之间存在群同构时，我们也说 G 同构于 G′ ○ 记作 G≅G^′ • 练习 ○ 如果 f:G→G′ 是一个群同构，那么 f^(−1):G′→G 也是一个群同构 核 • 定义 ○ 如果 f:G→G′ 是一个群同态，称 f^(−1) ({e}) 为 f 的核，记为 ker⁡f • 定理：ker⁡f⊴G ○ 显然有 ker⁡f≤G ○ 对任意 a∈ker⁡f，有 f(a)=e′ ○ 令 g∈G，则 f(〖gag〗^(−1) )=f(g)f(a)f(g^(−1) )=f(g)f(g^(−1) )=e^′ ○ ⇒〖gag〗^(−1)∈ker⁡f • 定理：f:G→G′ 是一个单射的同态，当且仅当 ker⁡f={e} ○ 假设 a∈ker⁡f，那么 f(a)=e^′=f(e) ○ ⇒a=e⇒ker⁡f=e ○ 反过来，假设已知 ker⁡f={e} ○ 假设 f(a)=f(b) ○ e^′=f(a)(−1) f(b)=f(a^(−1) b) ○ ⇒a^(−1) b=e ○ ⇒a=b ○ 故 f 是一个单射