第17讲 群作用

群作用 • 定义 ○ 让 G 为任意群，S 为任意集合 ○ 定义 G 在 S 上的作用是 ○ 把 G 里的每个元素 g 对应到 S 上的映射 ϕ_g:S→S ○ 并且符合 § 对任意 g,g^′∈G, ϕ_g∘ϕ_g=ϕ_gg′ § 对于 e∈G，ϕ_e=1_S • 定理：任何 ϕ_g 都是双射，并且 ϕ_g 和 ϕ_(g^(−1) ) 互为逆映射 ○ ϕ_g∘ϕ_(g^(−1) )=ϕ_(gg^(−1) )=ϕ_e=1_S ○ ϕ_(g^(−1) )∘ϕ_g=ϕ_(g^(−1) g)=ϕ_e=1_S • 例1 ○ 让 G 为任意群，S 为任意集合 ○ 定义 ϕ_g=1_S ○ 可以证明 ϕ_g 符合群作用的两个条件 ○ 我们把这一作用称作平凡作用 • 例2 ○ [n]={1,2,…,n} ○ 定义 n 次对称群 (S_n={从 [n] 到 [n] 的映射},∘) ○ 定义对于任意 σ∈S_n，ϕ_σ (s)=σ(s) ○ 则这个作用为 [n] 上的置换 • 例3 ○ 让 G 为任意群，把 G 看成集合 ○ 可以把 G 作用在 G 上 ○ 定义左作用为 λ_g (h=gh ○ 定义右作用为 ρ_g (h=hg^(−1) ○ 定义共轭作用为 ϕ_g (h=ghg^(−1) ○ 练习：证明以上作用满足作用的两个条件 ○ 思考：为什么右作用要取 g 的逆 ○ 注：共轭作用即左作用和右作用同时作用在 h 上 • 记号 ○ 我们将 G 作用在 S 上记作 G↷S 我们将元素 s 在 ϕ_g 上的像 ϕ_g (s) 记作 g.s 简单和传递 • 简单 ○ 当 G↷S，我们称它是简单的 ○ 当且仅当 e 是唯一对应恒等映射 1_S 的群元素 • 传递 ○ 当 G↷S，我们称它是传递的 ○ 当且仅当对于任何 s,s^′∈S，有 g∈G 使得 g.s=s^′ • 例1：一般地，平凡作用即不简单，也不传递 • 例2：n 次对称群 S_n 在 [n] 上的作用即简单又传递 ○ 证明当作练习 • 例3：G 在 G 上的左作用和右作用即简单又传递 ○ 以左作用为例 ○ 简单 § 假设 λ_g=1_G § 则 ∀h∈G, λ_g (h=gh=h § 故 g=e § 所以这个作用是简单的 ○ 传递 § 假设 h→h′ § 我们想要找到 λ_g (h=gh=h′ § 则 g=h′ h(−1) § 所以这个作用是传递的 轨道 • 定义 ○ 给定 G↷S ○ 对于 x,y∈S 定义 x~y 当且仅当存在 g∈G 使得 g.x=y ○ 定义 ~ 对应的等价类 [x] 为轨道，记为 O_x • 定理：~ 是一个等价关系 ○ 自反性 § ∀x∈S § 存在 e∈G 使得 e.x=x § ⇒x~x ○ 对称性 § x~y 即 g.x=y § ⇒g^(−1).y=g(−1).(g.x)=(g^(−1) g).x=e.x=x § 所以 y~x ○ 传递性 § x~y, y~z § 即存在 g 使得 g.x=y，存在 h 使得 h.y=z § 复合这两个作用得到 (h�).x=h.(g.x)=h.y=z § 所以 x~z