第18讲 合成列（选修）

合成列 • 简单群 ○ 一个群被称为简单群当且仅当它没有非平凡的正规真子群 ○ 简单群是构成群的最小单位 • 定义 ○ 对于一个群 G ○ G 的合成列是一系列子群 G_i (i≤i≤n) 且满足以下条件 § {e}=G_0⊲G_1⊲G_2⊲⋯⊲G_n=G § G_i \G_(i−1) 是一个简单群，称为合成因子 • 例1 ○ G=Z\15={0,1,2,3,…,14} 是一个阿贝尔群 ○ 构造 N=⟨5⟩={0,5,10}，|N|=3 ○ 构造正规子群 G∕N 则|G/N|=|G|/|N| =15/3=5 ○ 考虑 0⊲N⊲G，且 |N/0|=|N|=3, |G/N|=5 均为质数 ○ 故 N\0 和 G\N 均为简单群 ○ 所以 0,N,G 是 G 的合成列 • 例2 ○ 令 G=D_6 即二面体群，对应正三角形的三个旋转对称和翻转对称 ○ 令 C_3={旋转 0°,旋转 120°,旋转 240°} ○ 可以得到 {e}⊲C_3⊲D_6 ○ |C_3 |=3, |D_6/C_3 |=6/3=2 均为质数 ○ 所以 C_3, D_6 \C_3 都是简单群 ○ 故 {e}, C_3,D_6 是 G 的合成列 • 若尔当-赫尔德定理 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，那么 § G 的合成列存在 § 如果 G 有以下两个合成列，那么 m=n § {e}=N_0⊲N_1⊲⋯⊲N_n=G § {e}=M_0⊲M_1⊲⋯⊲M_m=G § 且存在双射 σ:[n]→[n], σ∈S_n 使得 M_σ(i) \M_σ(i−1) ≅N_i \N_(i−1) § 注：[n]={1,2,3,…,n} ○ 证明：G 的合成列存在 § 让 G 为一个有限群，我们对 |G| 进行数学归纳 § 当 |G|=1 时，平凡群的合成列仍为平凡群，无需任何证明 § 归纳步骤：找 G 里的一个最大正规真子群 N，则 |N||G| § 可以对 N 使用归纳假设 § 由群同构第四定理得到 § {e}=N_0⊲N_1⊲⋯⊲N_n=N⊲G 是 G 的合成列 ○ 证明：两个合成列长度一样，并且有一样的合成因子 § 对 min⁡{m,n} 进行数学归纳 § 当 min⁡{m,n}=1 □ G 是一个简单群，此时 m=n=1 □ 且 G 是唯一的合成因子 § 归纳步骤 □ {e}⊲N_1⊲⋯⊲N_(n−1)⊲G □ {e}⊲M_1⊲⋯⊲M_(m−1)⊲G □ 如果 N_(n−1)=M_(m−1)，命题成立 □ 只需考虑 N_(n−1)≠M_(m−1) □ 则 N_(n−1),M_(m−1)⊴N_(n−1) M_(m−1),M_(m−1) N_(n−1)⊴G □ 由群同构第四定理得到 □ N_(n−1),M_(m−1)⊲N_(n−1) M_(m−1),M_(m−1) N_(n−1)=G □ 由群同构第二定理得到 □ N_(n−1) M_(m−1) \M_(m−1)≅N_(n−1) \M_(m−1)∩N_(n−1) □ N_(n−1) M_(m−1) \N_(n−1)≅M_(m−1) \M_(m−1)∩N_(n−1) □ 定义 M_(m−1)∩N_(n−1)=L 则 □ G\M_(m−1)≅N_(n−1) \L □ G\N_(n−1)≅M_(m−1) \L □ 找到 L 的合成列 {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l=L □ 构造以下两个合成列 □ {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l⊲N_(n−1)⊲G ① □ {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l⊲M_(m−1)⊲G ② □ 结合之前的两个合成列 □ {e}⊲N_1⊲⋯⊲N_(n−1)⊲G ③ □ {e}⊲M_1⊲⋯⊲M_(m−1)⊲G ④ □ 对 ① 和 ③ 应用归纳假设 □ 得到 ① 和 ③ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 同理 ② 和 ④ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 故 ③ 和 ④ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 原命题即得证