第19讲 自由群（选修）

字母表和字母 • 字母表和字母 ○ 让 S 为任意的集合 ○ 我们称 S 为字母表，并将这个集合内的每一个元素称为字母 ○ 对于每个 s∈S，创造 s^(−1) 也是一个字母 ○ 定义在 S 上的单词是由定义在 S 上的字母所组成的有限序列 • 例子 ○ S={a,b,c} ○ 创造 {a,b,c,a^(−1),b(−1),c^(−1) } 六个字母 ○ 可以构成 aaa, ab, c^(−1), c^(−1) c^(−1) baaaabc^(−1) b^(−1) 等单词 ○ 我们通常记 ⏟(aaa⋯a)┬(n 个 a)=a^n, ⏟(a^(−1) a^(−1) a^(−1)⋯a(−1) )┬(n 个 a^(−1) )=a^(−n) ○ 则以上单词可以记为 a^3, ab, c^(−1), c^(−2) ba^4 bc^(−1) b^(−1) 相接和简化 • 简化的定义 ○ 一个简化的单词是相邻字母对中不存在 〖ss〗^(−1), s^(−1) s 的单词 • 例子 ○ a^(−2) a^4=a(−1) a^(−1) aaaa 不是简化的单词 ○ 空单词 ∅ 也是一个简化的单词 • 总是可以把任意单词转化为简化单词 ○ 我们可以将 〖ss〗^(−1), s^(−1) s 替换为空单词 ∅ ○ 直到新的单词内不存在 〖ss〗^(−1), s^(−1) s • F(S) ○ 对于任意集合 S ○ 定义 F(S)={定义在 S 上的简化的单词} ○ 特别的，∅∈F(S) 总是成立 • 相接 ○ 已知 μ, τ∈F(S) ○ 定义 μτ 为把 μ 和 τ 前后相接所组成的单词 自由群 • 相接与简化 ○ 在 F(S) 定义运算 ∗ 为将两个单词相接再简化 ○ 则对于 μ, τ∈F(S)，μ∗τ∈F(S) • 例子 ○ ab∗c=abc ○ abc∗c^(−1)=ab • 自由群 ○ 可以证明 (F(S),∗) 是一个群，我们称 (F(S),∗) 为定义在 S 上的自由群 表示 • 定义 ○ 让 G 为任意群，S 为 G 的一个生成集，并且 e∉S （譬如 S=G/\e}） ○ 定义映射 f:F(S)→G, 简化单词↦字母的乘积 ○ 练习：证明 f 是一个群同态 ○ 明显地 f 是一个满射 ○ 根据群同构第一定理可知 G≅F(S)\ker⁡f ○ 我们称 F(S)\ker⁡f 为群 G 的表示 • 定理：任何群都是自由群的商群