第20讲 稳定子，中心化， 正规化子

稳定子 • 定义 ○ 令 G↷S, A⊆S ○ 定义 A 的稳定子为 G_A={g∈G|g.a=a, ∀a∈A} ○ 如果 A={a} 我们会记 G_{a} =G_a • 练习 • 练习：G_A≤G (G_a≤G) • 定理：如果 G↷S, A⊆S, g∈G，那么 〖gG〗_A g^(−1)=G_(g.A) ○ 对于任意 h∈G_A ○ （gh�^(−1) ）.(gA)=（gh�^(−1) g）.A=(gh.A=g.(hA)=g.A ○ ⇒〖gG〗_A g^(−1)⊆G_(g.A) ○ 另一方面，令 g=g^(−1), A=g.A ○ 则 〖g^(−1) G〗_(g.A) g⊆G_(g^(−1).(g.A) )=G_A ○ 同时取 g 的共轭，得到 ○ G_(g.A)⊆gG_A g^(−1) ○ 结合两个方向上的包含关系，G_(g.A)=gG_A g^(−1) • 定理 ○ 轨道（复习） § 已知 G↷S, s∈S § O_s={g.s|g∈G} ○ 命题 § O_s 与商集 G\G_s 有着一一对应 § 特别地，如果 O_s 是一个有限集，那么 |O_s |=|G:G_s | ○ 证明 § 构造 f: G\G_s→O_s, 〖gG〗_s↦g.s § 首先要证明 f 定义良好 □ 假设 〖gG〗_s=〖h〗_s □ ⇒g^(−1) h∈G_s □ (g^(−1) h.s=s □ g^(−1).(hs)=s □ h.s=g.s □ ⇒f 定义良好 § 证明 f 是双射 □ 显然，f 是满射 □ 只需证明 f 是单射 □ 假设 f(gG_s )=f(h_s ) □ g.s=h.s □ ⇒g^{(−1).(g.s)=g}(−1).h.s □ ⇒s=g^(−1).h.s □ ⇒g^(−1) h∈G_s □ ⇒〖h〗_s=〖gG〗_s □ 故 f 是单射 □ 所以 f 是双射 中心化子和正规化子 • 中心化子 ○ 考虑 G 在 G 上的共轭作用 g.h=〖gh�〗^(−1) ○ 令 A⊆G ○ 我们称 G_A 为 A 的中心化子 ○ 记为 C_G (A)={g∈G|∀a∈A, gag^(−1)=a} • 注 ○ gag^(−1)=a⟺ga=ag ○ 即中心化子中的每个元素都和 A 里所有元素交换 • 中心 ○ 特别地，我们将 C_G (G) 记作 Z(G)，称为 G 的中心 • 正规化子 ○ 考虑 G 在 2^G 上的共轭作用 g.S=〖gSg〗^(−1) ○ 令 A⊆G, A∈2^G ○ 我们称 G_A 为 A 的正规化子 ○ 记为 N_G (A)={g∈G|gAg^(−1)=A} • 中心化子和正规化子 ○ 总有 C_G (A)⊆N_G (A) ○ 特别地，当 A={a} 时 ○ C_G ({a})⊆N_G ({a}) • 定理 ○ 我们证明过 O_s 和 G\G_s 存在一一对应关系 ○ 将这一结论应用到 G↷2^G 可以得到 ○ 对任意 A⊆G, A∈2^G ○ O_A={A 的共轭子集} 和 G\N_G (A) 存在一一对应关系 ○ 特别地，当 N_G (A) 在 G 中的指数有限时 ○ A 的共轭子集的个数=|G:N_G (A)|∞ ○ 特别地，当 A={a} 时 ○ |[a]|=|G:C_G (a)| • 练习 1 ○ 对于 H≤G ○ N_G (H) 是所有把 H 包含为正规子群的 G 的子群里面最大一个 ○ 即如果 N≤G 并且 H⊴N，那么 N≤N_G (H) • 练习 2 ○ 如果 S⊆G，那么 S⊆C_G (C_G (S))