第21讲 类等式定理

类等式定理 • 复习 ○ 对于有限群 G，令 a∈G，则 |[a]|=|G:C_G (a)| ○ Z(G)=C_G (G) • 类等式定理 ○ 如果 G 是一个有限群 ○ 从每一个包含元素个数大于 1 的等价类里 ○ 取一个元素 g_i (1≤i≤n) ○ 那么总有 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| • 证明 ○ G=⋃8_(g∈G)▒[g] ○ 已知 g∈Z(G) 当且仅当 |[g]|=1 ○ 故 |Z(G)| 统计了所有 |[g]|=1 的个数 ○ 又知 |G:C_G (g_i )|=|[g_i ]| ○ 故∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 统计了所有 |[g]|1 的个数 • 推论 ○ 命题 § 如果 |G|=p^m，其中 p 是质数，m≥1 § 那么 |Z(G)|1 即 G 的中心不是平凡子群 ○ 证明 § 由用类等式定理 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| § 观察得到 |G|=p^m 能被 p 整除 § 因为 g_i 不在 G 的中心里，可以证明 G § 事实上若 C_G (g_i )=G 则 g_i∈Z(G) § 根据拉格朗日定理，|G:C_G (g_i )| 能被 p 整除 § 等式 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 中 § |G|, ∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 均能被 p 整除 § 所以 |Z(G)| 也必须能被 p 整除 § 故 |Z(G)|1