第22讲 n次对称群

置换与 n 次对称群 • 定义 ○ 令 [n]={1,2,…,n} ○ 定义 S_n={所有从 [n] 到 [n] 的双射} ○ 则 (S_n,∘) 是一个群，叫做 n 次对称群 ○ 对于 σ∈S_n，我们可以表示为 ○ (■8(1&2&3&…&n@↓&↓&↓&…&↓@σ(1)&σ(2)&σ(3)&…&σ(n) )) ○ S_n 的元素也被称为置换 ○ 所以 n 次对称群也被称为 n 次置换群 • 凯莱定理 ○ 命题 § 对于任意有限群 G § 存在正整数 n 使得 G 同构与 S_n 的一个子群 ○ 证明 § 可以找到一个双射 f:G→[|G|] § 定义 F:G→S_[|G|] , g↦f∘λ_g∘f^(−1) § 可以证明 F 是一个同态 § 根据群同构第一定理 § F(G)≤S_[|G|] § G\ker⁡f≅F(G) § 足够证明 ker⁡f=[e] § 假设 g∈ker⁡f，即 ∀x, f∘λ_g∘f^(−1)=x § ⟺λ_g 是恒等映射 § ⇒g=e § 故 ker⁡f=[e] 轮换与对换 • 定义 ○ 在 [n] 中选 m 个不同的元素，m≤n ○ 选定 a_1,a_2,…,a_m ○ 定义 σ=(a_1 a_2 … a_m ) 为一个轮换，若 ○ σ(a_1 )=a_2, σ(a_2 )=a_3,…,σ(a_m )=a_1 ○ 特别地，当 σ=(a b) 时，我们称其为对换 • 例子 ○ 以 [4]={1,2,3,4} 为例 ○ 令轮换 σ=(1 2 3)，则有 ○ σ(1)=2, σ(2)=3, σ(3)=1, σ(4)=4 ○ 令对换 τ=(2 4)，则有 ○ τ(1)=1, τ(2)=4, τ(3)=3, τ(4)=1 • 阶 ○ 轮换 σ=(a_1 a_2 … a_m ) 的阶为 m ○ 对换 τ=(a b) 的阶为 2 • 定理 ○ 如果 σ=(a_1 a_2 … a_m ), τ=(b_1 b_2…b_l ) ○ 并且 a_i≠b_j ∀1≤i≤m,1≤j≤m ○ 那么 σ 与 τ 交换，即 στ=τσ • 定理：每一个置换都可以写成轮换的乘积 ○ 让 σ∈S_n ○ 考虑 H=⟨σ⟩↷[n]，并把 n 分为若干个轨道 ○ 则每一个轨道都对应着一个轮换 σ_i ○ 则 σ=σ_1 σ_2…σ_k • 推论 ○ 如果 σ=(a_1 a_2…a_m )(b_1 b_2…b_l )…(c_1 c_2…c_k ) ○ 则 σ 的阶是 m,l,…,k 的最小公倍数 • 定理：每个轮换都是对换的乘积 ○ (a_1 a_2…a_k )=(a_1 a_k )(a_1 a_(k−1) )…(a_1 a_2 ) • 推论：每个置换都是对换的乘积 ○ 因为每一个置换都可以写成轮换的乘积 ○ 且每个轮换都是对换的乘积 符号 • 定义 ○ 定义 Δ=∏8_(i≤ij≤n)▒(x_i−x_j ) ○ 对于 σ∈S_n 定义 σΔ=∏8_(i≤ij≤n)▒(x_σ(i) −x_σ(j) ) ○ 观察 Δ, σΔ 发现每一对 x_i,x_j 都会出现在两式中 ○ 只是减法的顺序可能会不同 ○ 我们将 σΔ/Δ 定义为 σ 的符号，记为sgn⁡σ=σΔ/Δ • 练习 ○ 若 σ,τ∈S_n 是两个置换，那么 sgn⁡σ⋅sgn⁡τ=sgn⁡(στ) ○ 证明 ({±1},×) 形成一个群 • 符号映射 ○ sgn 是一个从 S_n 到 {±1} 的群同态，又叫做符号映射 • 奇置换与偶置换 ○ 我们称 sgn=1 的置换为偶置换 ○ 我们称 sgn=−1 的置换为奇置换 • n 次交错群 ○ 我们把 A_n={偶置换}⊲S_n 叫做 n 次交错群 ○ 且有 |S_n:A_n |=2 • 练习 ○ 所有的对换都是奇置换 ○ 一个轮换 (a_1 a_2…a_k ) 是一个偶置换当且仅当 k 是奇数 相邻对换 • 定义 ○ 对于 1≤in−1 ○ 定义对换 s_i=(i (i+1)) 为相邻对换 • 练习：证明相邻对换的以下性质 ○ s_i^2=e ○ s_i s_(i+1 ) s_i=s_(i+1 ) ss_(i+1) ○ 如果 |i−j|≥2，那么 s_i s_j=s_j s_i • 定理：任何置换 σ∈S_n 都可以写成相邻对换的乘积 ○ 足够证明对于 σ 是对换时成立 ○ 考虑对换 (i j)，不失一般性地，假设 ij ○ 则 (i j)=s_i s_(i+1)…s_(j−3) s_(j−2) s_(j−1) s_(j−2) s_(j−3)…s_(i+1) s_i • 相邻对换分解 ○ 对于置换 σ∈S_n ○ 将 σ 写成 σ=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_m ) 称作相邻对换分解 • 长度 ○ 定义 σ 的长度为它所有相邻对换分解的最短长度，记为 l(σ) ○ 特别地，l(e)=0 • 定理：定义 L(σ)={(i,j)│ ij 并且 σ(i)σ(j) }，则 l(σ)=|L(σ)| ○ L(e)=∅ 所以命题对 e 恒成立 ○ 假设 σ 为非恒等元素 ○ 考虑 L(σs_i ) 作用在 [n] 上 ○ (■8(1&2&3&…&i&i+1&…&n@↓&↓&↓&…&↓&↓&…&↓@1&2&3&…&i+1&i&…&n@↓&↓&↓&…&↓&↓&…&↓@σ(1)&σ(2)&σ(3)&…&σ(i+1)&σ(i)&…&σ(n) )) ○ 则 |L(σs_i )|=|L(σ)|=±1 ○ 取 σ 最短的相邻对换分解 σ=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) ○ 则 e=s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) s_(i_L(σ) )…s_(i_2 ) s_(i_1 ) ○ 所以 L(σ)≤l(σ) ○ 现在只需证明另一个不等方向 ○ 因为 σ 是非恒等映射 ○ 故存在 i∈[n] 使得 σ(i)σ(i+1) ○ |L(σs_i )|=|L(σ)|−1 ○ 所以我们可以右乘 |L(σ)| 个相邻对换使得 σ 变回 e ○ σ(s_(i_1 ) s_(i_2 )…s_(i_L(σ) ) )=e ○ ⇒σ 可以写成 |L(σ)| 个相邻对换的乘积 ○ ⇒l(σ)≤L(σ) ○ 命题得证