第23讲 自同构

自同构 • 自同构 ○ 一个从 G 到 G 的同构是一个自同构 ○ 将 {所有 G 上的自同构} 记为 Aut(G) • 练习：（Aut(G),∘） 是一个群结构 • 自同构群 ○ 我们将 （Aut(G),∘） 称作 G 上的自同构群 • 例1 ○ 令 G 为任意群，g∈G ○ 定义 ϕ_g:G→G, h↦〖gh�〗^(−1) ○ 则 ϕ_g 是一个自同构 • 类自同构 ○ 对于 g,h∈G ○ ϕ_g∘ϕ_h(a)=ϕ_g (h�h(−1) )=ghah(−1) g^{(−1)=(gha(gh}(−1)=ϕ_gh(a) ○ 得到 ϕ:G→Aut(G)，可以证明 ϕ 是一个群同态 ○ 根据群同态的性质，ϕ(G) 也是 Aut(G) 的子群，记为 Inn(G) ○ 我们把 Inn(G) 里的元素称为类自同构 • 定理：Inn(G)⊴Aut(G) ○ 让 ψ 为 Aut(G) 里的一个类自同构 ○ ψ∘ϕ_g∘ψ^(−1) (h=ψ∘ϕ_g (ψ^(−1) (h)=ψ(gψ^(−1) (h g^(−1) ) ○ =ψ(g)hψ(g^(−1) )=ψ(g)hψ(g)^(−1)=ϕ_ψ(g) (h ○ 命题得证