第24讲 Z/n

Z\n • 复习 ○ Z\n={0,1,…,n−1} ○ 考虑映射 f:Z→Z\n,a↦[n] ○ 可以证明映射 f 是一个同态 ○ 通过群同构定理，可以得到 Z\n≅Z\ker⁡f ○ 可以找到 ker⁡f=nZ={na|a∈Z} • Z\n 上的自同构 ○ 定义在 Z\n 到 Z\n 的一些同态 ϕ: Z\n→Z\n ○ 假设 ϕ(1)=m，则对于任意 a∈Z\n ○ ϕ(a)=ϕ⏟((1+1+…+1) )┬(a 个 1)=aϕ(1)∈Z\n ○ 记所有的从 Z\n 到 Z\n 的同态为 ϕ_m • 引理 ○ 命题 § 如果 0mn, 0≤an 并且 n 整除 ma § 那么 a≠0 当且仅当 m 与 n 有公约数 k1 ○ 证明 § 当 m 与 n 有公约数 k1 时 § 0a=n/kn § ⇒ma=m n/k=m/k n 是 n 的倍数 § 故 n 整除 ma § 另一方面 § 如果 m 与 n 没有这样的公约数 k § 因为 n 整除 ma § 所以 n 整除 a § 但是 0an⇒a=0 § 违背了假设，故命题成立 § 即 m 与 n 有公约数 k1 • 哪些 ϕ_m 是 Z\n 上的自同构？ ○ ⟺ ϕ_m 是个单射 ○ ⟺ker⁡〖ϕ_m 〗={0} ○ 当 m=1 时，ϕ_0 (1)=0⇒ϕ_0 不是自同构 ○ 假设 m≠0，ϕ_m (a)=am=0∈Z\n ○ ⟺am 可以被 n 整除 ○ 根据引理 ϕ_m 是单射当且仅当 m 与 n 互质 • 练习 ○ 定义 (Z/n)^∗={x∈Z/n|x 与 n 互质} ○ 证明 ((Z/n)^∗,×) 是一个群 ○ 注：(Z/p)^∗={1,2,3,…,p−1} 是(Z/n)^∗ 的特例 • 定理：Aut(Z/n)≅(Z/n)^∗ ○ 定义 ϕ: (Z/n)^∗→Aut(Z/n), a↦ϕ_a ○ ϕ_a 是自同构当且仅当 a 与 n 互质 ○ ⇒ϕ 是双射 ○ 只需证明 ϕ 是群同态 ○ ϕ_a∘ϕ_b (x)=ϕ_a (bx)=abx=ϕ_ab (x) ○ 故 ϕ 是群同态 ○ 所以 Aut(Z/n)≅(Z/n)^∗