第25讲 半直积

半直积 • 定义 ○ 对于两个群 H,N，以及群同态 ϕ:H→Aut(N) ○ 定义 N ⋊┬ϕ H 为 N 与 H 的半直积 ○ 作为集合 N ⋊┬ϕ H=N×H ○ 乘法定义为 (n_1,h1 )(n_2,h2 )=(n_1 ϕ_(h1 ) (n_2 ),h1 h2 ) • 练习 ○ 证明 N ⋊┬ϕ H 是一个群 ○ 对于 ϕ:H→Aut(N), h↦1_N 问 N ⋊┬ϕ H 是怎样一个群？ • 定理 ○ 命题 § 如果 N⊴G, H≤G，并且 N∩H={e}, NH=G § 那么 G ≅N ⋊┬ϕ H § 且 ϕ:H→Aut N, h↦(h共轭:n↦〖h�h^(−1) ) ○ 证明 § 定义 f:N⋊H→G, (n,h↦nh § 证明 f 是一个群同态 □ f((n,h)f((n′,h))=nhn^′ h′ □ =nhn^′ (h(−1) h h′=(n(h�^′ h(−1) ))(h′) □ =f(n(h�^′ h(−1) ),h′)=f((n,h(n^′ h)) § 证明 f 是一个双射 □ 根据定义，f 是满射 □ 还需证明 f 是单射 □ 又因为 f 是一个群同态 □ 我们只需证明 ker⁡f={e} □ 假设 (n,h∈ker⁡f □ 即 f(n,h=nh=e □ 所以 n,h∈N∩H={e} □ 所以 n=h=e □ 即 ker⁡f={e} § 命题得证 • 练习 ○ 对于 G×H ，证明 G×{e_H }⊴G×H, {e_H }×G⊴G×H ○ 对于 N⋊H，证明 N×{e_H }⊴(N⋊H)