第26讲 西罗定理（选修）

西罗定理 • 定义 ○ 已知质数 p，我们称阶为 p^m 的群为一个 p 群 ○ 对应地，如果一个有限群 G 阶为 p^α m ○ 并且 α≥1, p∤m，那么如果 H≤G 是一个 p 群 ○ 我们称 H 为 G 的 p 子群 ○ 特别地，如果 |H|=p^α，我们称 H 为 G 的西罗 p 子群 • 西罗定理 ○ 对于给定的有限群 G ，|G|=p^α m 并且 α≥1, p∤m ○ 有以下结论 1. G 总有西罗 p 子群 2. 如果 G 是一个西罗 p 子群，Q 是一个 p 子群 那么存在 g∈G 使得 Q⊆〖gPg〗^(−1) 可以推出，所有的西罗 p 子群都共轭 3. 将 G 里西罗 p 子群的个数记为 n_p，那么 n_p≡1 mod p 可以推出，西罗 p 子群的个数 =|G:N_G (p)| 由拉格朗日定理得，|G:N_G (p)| 整除 |G|=p^α m 由于 p∤n_p 所以 n_p |m • 证明：对于有限群 G ，|G|=p^α m, α≥1, p∤m，西罗 p 子群存在 ○ 对 |G| 进行数学归纳 ○ 当 |G|=1 时，没有质数整除 |G|，无需证明 ○ 归纳步骤：考虑 G 和 Z(G)=C_G (G)={g∈G|ghh�, ∀hG} ○ 若 p||Z(G)| § 对阿贝尔群 C_G (G) 运用柯西定理，存在 NZ(G) 并且 |N|=p § 可以发现 ∀g∈G, 〖gng〗^(−1)=ngg(−1)=n 故 N⊴G § 取 G ̅=G\N § 对 G ̅ 运用归纳假设 § 在 G ̅ 里存在子群 P ̅ 并且 |P ̅ |=p^(α−1) § 由群同构第四定理，得到 P≤G 且 P ̅=P\N § 则 |P|=|P ̅ ||N|=p^(α−1) p=p^α ○ 若 p∤|Z(G)| § 根据类等式定理 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| § 可以发现 |G| 可以被 p 整除，|Z(G)| 不能被 p 整除 § 故存在某个 p∤|G:C_G (g_i )| § 因为 |C_G (g_i )|=|G|\|G:C_G (g_i )|=p^α m/|G:C_G (g_i )| § 故存在 l 使得 p^α l=|C_G (g_i )||G| § 对 C_G (g_i ) 运用归纳假设 § 得到 P≤C_G (g_i )≤G § 并且|P|=p^α • 引理 1 ○ 命题 § 对于有限群 G ，|G|=p^α m, α≥1, p∤m § 如果 P 是 G 的西罗 p 子群，Q 是 G 的 p 子群 § 那么有 Q∩N_G (P)=Q∩P ○ 证明 § 记 H=Q∩N_G (P) § 因为 P⊴N_G (P) § 需证 H≤Q∩P § 只需证 H≤P § 根据西罗 p 子群的定义，P⊆PH⇒P=PH § 所以 H⊆PH=P § 需证 PH 是一个 p 子群 § 根据拉格朗日定理，|PH|=|P||H|/|P∩H| § 观察发现 |P|,|H|,|P∩H| 都能被 p 整除 § 故 |PH| 也能被 p 整除 § 需证 PH 是一个子群 § H≤N_G (P), P⊴N_G (P) § 所以子群和正规子群的乘积 PH 也是一个子群 § 即得证 • 引理 2 ○ 定义 S={所有 P 的共轭子群}， ○ Q↷S 得到轨道 O_i ○ 不失一般性地，让 P_i∈O_i, (1≤i≤r)，则显然 r≤s ○ 对于共轭作用 Q↷S，定义 N_Q (P_i ) 为 P_i 的稳定子 ={q∈Q| qP_i q^(−1)=P_i } ○ 不难证明 N_Q (P_i )≤Q 且根据定义有 N_Q (P_i )=N_G (P_i )∩Q ○ |O_i |=|Q:N_Q (P_i )|=|Q:N_G (P_i )∩Q|=|Q:P_i∩Q| ○ s=|S|=|O_1 |+|O_2 |+…+|O_r |=|Q:P_1∩Q|+|Q:P_2∩Q|+…+|Q:P_r∩Q| • 证明：结论 2 ○ 对于 Q=P_1，应用引理 2 中的等式 § |O_1 |=|Q:P_1∩Q|=1 § |O_2 |=|P_1:P_1∩P_2 |1 且能被 p 整除 § 同理对于 i≥2，|O_2 | 都能被 p 整除 § 故 s≡1 mod p ○ 让 Q 为任意 p 子群，应用引理 2 中的等式 § 假设 Q 不是任何 p 共轭子群的子群 § 那么 Q∩P_i 都是 Q 的真子群 § 故每一项都能被 p 整除 § 所以 s 也能被 p 整除 § 与之前的结论矛盾，故假设不成立 § 即 Q≤〖pGp〗^(−1) • 证明：结论 3 ○ s=n_p≡1 mod p ○ 并且 |G|=p^α m，n_p=|G:N_G (P)| ○ 所以 n_p |m