第27讲 西罗定理的应用（选修）

西罗定理的应用 • 西罗定理 ○ 对于给定的有限群 G ，|G|=p^α m 并且 α≥1, p∤m 那么 ○ G 总有西罗 p 子群，即存在 P≤G，|P|=p^α ○ 所有西罗 p 子群都共轭，所有 p 子群都是西罗 p 子群的子群 ○ 西罗 p 子群的个数 n_p≡1 mod p 且 n_p |m • 定理 1：所有西罗 p 子群都同构 ○ 根据西罗定理，所有西罗 p 子群都共轭 ○ 因为共轭就是自同构，所以命题得证 • 定理 2：G 的一个西罗 p 子群是正规子群当且仅当 n_p=1 ○ 证明略 • 定理 3：如果 |G|=pq，pq 质数，那么西罗 q 子群 Q⊴G ○ n_q≡1 mod q ○ ⇒n_q=kq+1, k∈N ○ 又因为 n_q |p，故 k=1 ○ 即 n_q=1 ○ 根据定理 2，Q⊴G • 推论 ○ 定理 3 中考虑合成列 {e}⊲Q⊲G ○ |G/Q|=|G|/|Q| =p⇒G\Q 是 p 阶循环群 ○ |Q|=q⇒Q 是 q 阶循环群 ○ ⇒G 是一个可解群 • 定理 4：若 |G|=12，则 G 有一个 3 阶循环正规子群，或 G≅A_4 ○ 假设 n_3≠1 那么因为 12=3×4 ○ 所以根据西罗定理，n_3≡1 mod 3 且 n_3 |4 ○ ⇒n_3=4 ○ 即 G 里有 4 个 3 阶循环子群 ○ P_1,P_2,P_3,P_4 两两相交于恒等元素 ○ |G:N_G (P_i )|=4 ○ ⇒|N_G (P_i )|=|G|/4=12/4=3 ○ 同时 P_i⊴N_G (P_i ) 故 N_G (P_i )=P_i ○ 令 S={P_1,P_2,P_3,P_4 } ○ 考虑 G↷S 得到群同态 f:G→S_4 ○ 根据群同构第一定理 G\ker⁡f≅f(G)≤S_4 ○ ker⁡f=⋂8_(i=1)^4▒〖N_G (P_i ) 〗={e} ○ ⇒G≅S_4 的子群 ○ 可以证明 S_4 里的 4 个 3 阶循环子群分别由以下轮换生成 ○ (1 2 3), (1 2 4),(2 3 4), (1 3 4) ○ 且这 4 个 3 阶循环子群都在四次交错群 A_4 中 ○ 可以得到 f(G) 与 A_4 有一个至少 9 元素的交集 ○ f(G)∩A_4≤A_4 ○ 又因为 |f(G)∩A_4 |≥9, |A_4 |=12 ○ 根据拉格朗日定理，|f(G)∩A_4 |=12 ○ ⇒f(G)=A_4 ○ ⇒G≅S_4 • 定理 5：如果 |G|=p^2 q, p≠q 质数，那么 G 一定有正规西罗子群 ○ 如果 pq § 那么 n_p=1+kp 且 n_p |q § ⇒k=0, n_p=1 § 西罗 p 子群是正规子群 ○ 如果 pq § 同理有 n_q=1+tq 且 n_q |p^2 § 如果 t=0，西罗 q 子群是正规子群 § 如果 t≥1，n_qqp § ⇒n_q=p^2 § ⇒p^2−1=tq § ⇒(p+1)(p−1)=tq § 故 q|p+1 但 qp § 所以 q=p+1 § 又因为 p,q 均为质数 § 所以 p=2, q=3 § ⇒|G|=12 § 根据定理 4，G 有一个正规西罗子群，或 G≅A_4 § 而 A_4 有正规 2 阶西罗 2 子群 ○ 命题成立