第28讲 可解群

可解群 • 定义 ○ 一个群 G 是可解群 ○ 当且仅当 G 有一系列子群 G_i (1≤i≤n) 且满足 ○ {e}⊲G_1⊲G_2⊲…⊲G_n=G ○ G_i \G_(i−1) 是阿贝尔群 • 例1 ○ G=Z\15={0,1,2,3,…,14} 是一个阿贝尔群 ○ 构造 N=⟨5⟩={0,5,10}，|N|=3 ○ 构造正规子群 G∕N 则|G\N|=|G|/|N| =15/3=5 ○ 考虑 0⊲N⊲G，且 |N\0|=|N|=3, |G\N|=5 均为质数 ○ 故 N\0 和 G\N 均为阿贝尔群 ○ 所以 G 是可解群 • 例2 ○ 令 G=D_6 即二面体群，对应正三角形的三个旋转对称和翻转对称 ○ 令 C_3={旋转 0°,旋转 120°,旋转 240°} ○ 可以得到 {e}⊲C_3⊲D_6 ○ |C_3 |=3, |D_6 \C_3 |=6/3=2 均为质数 ○ 所以 C_3, D_6 \C_3 为阿贝尔群 ○ 所以 G 是可解群 • 例3 ○ 所有的阿贝尔群都是可解群 ○ 取 {e}⊲G 即满足条件 • 定理 ○ 命题 § 对于有限群 G，下面的命题等价 1. G 是可解群，即 {e}⊲G_1⊲G_2⊲…⊲G_n=G 且 G_i \G_(i−1) 是阿贝尔群 2. {e}⊲H_1⊲H_2⊲…⊲H_m=G 且 H_i \H_(i−1) 都是循环群 3. G 的所有合成因子都是质数阶的 4. {e}⊲N_1⊲N_2⊲…⊲N_l=G 且 N_i⊲G 且 N_i \N_(i−1) 是阿贝尔群 ○ 证明 4⟺1 § 4⇒1 显然 § 以下证明 1⇒4 § 假设 G 是阿贝尔群，对 |G| 进行数学归纳 § 若 |G|=1 则无需证明 § 根据柯西定理，p||G|⇒ 存在一个 p 阶子群 N⊲G § 考虑 |G\N|=|G|/p⊲|G| § 运用归纳假设，存在 {e}⊲(H_1 ) ̅⊲(H_2 ) ̅⊲…⊲(H_n ) ̅=G\N § 使得 (H_i ) ̅\(H_(i−1) ) ̅ 是循环群 § 根据群同构第四定理，{e}⊲N⊲H_1⊲H_2⊲…⊲H_m=G § 根据群同构第三定理，以上序列满足命题 4 的条件 ○ 证明 2⇒3 § 假设 G 是循环群 § 对 G 的阶进行数学归纳 § 若 |G|=1 则无需证明 § 假设命题 3 对于所有阶小于 |G| 的循环群都成立 § 根据柯西定理，可以找到 p||G| § 且可以找到 p 阶子群 N⊲G § 构造 |G\N|=|G|/p⊲|G| § 运用归纳假设，可以找到 {e}⊲(G_1 ) ̅⊲(G_2 ) ̅⊲…⊲(G_n ) ̅=G\N § 使得 (G_i ) ̅\(G_(i−1) ) ̅ 是循环群 § 根据群同构第四定理，{e}⊲G_1⊲G_2⊲…⊲G_n=G § 根据群同构第三定理，以上序列满足命题 3 的条件 ○ 注：视频有断…