第2讲 集合的运算

并集和交集 • 并集 ○ 对于任意集合 A,B，定义 A 与 B 的并集为 ○ A∪B={x∈A 或者 x∈B} • 交集 ○ 对于任意集合 A,B，定义 A 与 B 的交集为 ○ A∩B={x∈A 并且 x∈B} • 结合律 ○ 定理 1：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) § x∈(A∪B)∪C 当且仅当 x∈A 或 x∈B 或 x∈C § x∈A∪(B∪C) 当且仅当 x∈A 或 x∈B 或 x∈C § 故 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ○ 定理 2：(A∩B)∩C=A∩(B∩C) § x∈(A∩B)∩C 当且仅当 x∈A 且 x∈B 且 x∈C § x∈A∩(B∩C) 当且仅当 x∈A 且 x∈B 且 x∈C § 故 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) • 交换律 ○ 定理 3：A∪B=B∪A ○ 定理 4：A∩B=B∩A • 分配律 ○ 定理 5：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) § 先证 (A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C) □ 令 x∈(A∪B)∩C □ ⇒x∈A∪B 且 x∈C □ ⇒(x∈A 且 x∈C) 或 (x∈B 且 x∈C) □ ⇒x∈(A∩C)∪(B∩C) □ 即 (A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C) § 再证 (A∩C)∪(B∩C)⊆(A∪B)∩C □ A⊆A∪B □ ⇒A∩C⊆(A∪B)∩C □ 同理 B∩C⊆(A∪B)∩C □ 故 (A∩C)∪(B∩C)⊆(A∪B)∩C § 故 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ○ 定理 6：(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) ○ 注：可以类比 (a+b)×c=a×c+b×c 索引集 • 引入 ○ 把要取并集或交集的集合 A_α，组成一个新的集合 {A_α |α∈I} ○ 我们将下标 α 组成的集合称为索引集，即集合 I ○ I 中的每个元素 α 都对应一个集合 A_α • 记号 ○ 对所有 A_α 取并集可以记作 ⋃8_(α∈I)▒A_α ○ 对所有 A_α 取交集可以记作 ⋂8_(α∈I)▒A_α 德摩根定律 • 对于 A_α⊆U • 交集的补集等于补集的并集 ○ （⋂8_(α∈I)▒A_α ）^{c=⋃8_(α∈I)▒A_α}c • 并集的补集等于补集的交集 ○ （⋃8_(α∈I)▒A_α^ ）^{c=⋂8_(α∈I)▒A_α}c 卡氏积 • 定义 ○ 对于任意集合 A 与 B，定义 A 与 B 的卡氏积为 ○ A×B={(x,y)|x∈A,y∈B} • 例1 ○ A={a,b,c} ○ B={1,2} ○ A×B={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)} • 例2 ○ 实数集 R ○ R×R={(x,y)┤|x,y∈R} 即平面 R2 不交并 • 定义 ○ 对于任意集合 A,B ○ 令 A^∗=A×{0}, B^∗=B×{1} ○ A⊔B=A^∗∪B∗ • 例1 ○ 若 x∈A∩B，则 (x,0),(x,1)∈A⊔B • 例2 ○ A={1,2,3}, B={1,2} ○ A^∗={(1,0),(2,0),(3,0)}, B^∗={(1,1),(2,1)} ○ A⊔B=A^∗∪B∗={(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)} 幂集 • 定义 ○ 对于任意集合 A，定义 A 的幂集为 ○ 2^A={所有 A 的子集组成的集合} • 例1 ○ A={1,2} ○ 2^A={∅,{1},{2},{1,2}} • 例2 ○ 2^∅={∅} 思考题 • ∅×A=? ○ ∅×={(x,y)|x∈∅,y∈A}=∅ • A×∅=? ○ A×∅={(x,y)|x∈A,y∈∅}=∅ • ∅×∅=? ○ ∅×∅={(x,y)|x∈∅,y∈∅}=∅