第4讲 映射

映射 • 定义 ○ 一个从集合 A 到集合 B 的映射是 A×B 的子集 f ○ 且对于任意 a∈A，存在唯一的 b∈B 使得 (a,b)∈f ○ 我们将 a,b 之间的关系 记作 f(a)=b 或 f:a↦b ○ 集合 A 称为映射的定义域 ○ 集合 B 称为映射的陪域 ○ 我们将定义域 A 到陪域 B 的映射记作 f:A→B • 例1 ○ 对于任意集合 A，定义恒等映射 1_A:A→A, a↦a • 例2 ○ 令 A=B=R，即我们学过的函数均为映射，如 ○ f(x)=x^2, g(x)=sin⁡x 等 • 例3 ○ 令 A⊆B，定义包含映射 i:A→B, a↦a • 例4 ○ 对于 (A,~)，定义投影映射 p:A→A\~,a↦[a] 单射、满射、双射 • 单射 ○ f:A→B 是单射当且仅当 ○ f(a)=b⇒a=b • 满射 ○ f:A→B 是满射当且仅当 ○ ∀b∈B，存在 a∈A 使得 f(a)=b • 双射 ○ f:A→B 是满射当且仅当 ○ f 即是单射又是满射 ○ 又说 A 与 B 存在一一对应 • 等势 ○ A 与 B 等势当且仅当A 与 B 存在一一对应 ○ 记作 |A|=|B| • 例1 ○ f(x)=x 是双射 • 例2 ○ g(x)=arctan⁡x 是单射但不是满射 ○ 因为没有元素映射到 (−∞,−π/2)∪(π/2,∞) • 例3 ○ h(x)=x sin⁡x 是满射但不是单射 ○ 因为有多个元素射到了同一个元素上 • 例4 ○ k(x)=|x| 既不是单射也不是满射 ○ 因为有多个元素射到了同一个元素上 ○ 且没有元素映射到 (−∞,0) 映射的逆 • 定义 ○ 给定 f:A→B，定义 f 的逆为 ○ f^(−1):2B→2^A, D↦f^(−1) (D)={x∈A|f(x)∈D} ○ 当 D 为单元素集时，我们记 f^(−1) ({y})=f^(−1) (y) ○ 我们称 f^(−1) (D) 为 D 的拉回，称 f^(−1) (y) 为 y 的纤维 • 定理 ○ 给定 f:A→B 和 f 的逆 f^(−1) ○ f^(−1) (C∪D)=f^(−1 ) (C)∪f^(−1) (D) ○ f^(−1) (C∩D)=f^(−1 ) (C)∩f^(−1) (D) ○ f^(−1) (C^c )=(f^(−1 ) (C))^c 映射的推出 • 定义 ○ 给定 f:A→B，定义 f 的推出为 ○ g:2^A→2B, C↦g(C)={y∈B|y=f(x),x∈C} ○ 我们称 g(D) 为 C 的像 • 定理 ○ 给定 f:A→B 和 f 的推出 g ○ g(C∪D)=g(C)∪g(D) ○ g(C∩D)⊆g(C)∩g(D) 卡氏幂 • 定义 ○ 对于任意集合 A,B ○ 我们将 A 到 B 的映射所组成的集合称作卡氏幂 ○ 记作 B^A • 定理：2^A 作为幂集与 2^A 作为卡氏幂有着一一对应 ○ 2={0,1} ○ 为了区分，暂时把幂集记为 P(A) ○ 构造映射 f:2^A→P(A), g↦g^(−1) (1) ○ 需要证明 f 是一个双射，即 f 是单射和满射 ○ 首先证明 f 是单射 § 假设 f(g)=f(h § 根据 f 的定义，有 g^(−1) (1)=h(−1) (1) § 即 g(x)=1 当且仅当 h(x)=1 § 又因为 g,h 的定义域为 2={0,1} § 故 g(x)=0 当且仅当 h(x)=0 § 所以 g=h § 即 f 是单射 ○ 还需证明 f 是满射 § 即对于任意 C⊆A 都有 g∈2^A 使得 f(g)=C § 构造 g:A→2, g(x)={■8(1&x∈C@0&x∉C)┤ § 即 f 是满射 ○ 即得证 康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理 • 命题 ○ 若集合 A 与 B 之间存在单射 f:A→B, g:B→A ○ 那么 A 与 B 存在一一对应 • 证明 ○ 给定 a_0∈A 我们进行以下构造 ○ ⋯a_(−1) ⟼┴f b_(−1) ⟶┴g a_0 ⟼┴f b_0 ⟶┴g a_1 ⟼┴f b_1 ⟶┴g⋯ ○ 存在以下四种情况 1. a_0 可以往两个方向无限拉回和推出 2. a_0 可以往右无限推出，但是只能拉回到 a∈A 3. a_0 可以往右无限推出，但是只能拉回到 b∈B 4. a_0 往右推出到了 a_0 本身，形成一个闭合的圆 ○ 构造 h:A→B, h(x)={■8(f(x)&x 属于第1,2,4种情况@g^(−1) (x)&x 属于第3种情况)┤ ○ 不难看出 h 是一个双射 映射的复合 • 定义 ○ 给定 f:A→B, g:B→C ○ 定义 g 与 f 的复合为 g∘f:A→C ○ g∘f(x)=g(f(x)) • 结合律 ○ 给定 f:A→B, g:B→C, h:C→D ○ h∘(g∘f)=(hg)∘f:A→D ○ 因为 h∘(g∘f)=h(g(f(x)))=(hg)∘f • 定理：如果 f 和 g 都是单射/双射/满射，那么 g∘f 也满足相应性质 ○ 仅证明单射的情况 ○ 若 g∘f(x)=g∘f(y) ○ 因为 g 是单射， f(x)=f(y) ○ 又因为 f 是单射， x=y ○ 故 g∘f 是单射