第5讲 罗素悖论（选修）

理发师悖论 • 小城里的理发师放出豪言： • 他只为，而且一定要为，城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子。 • 但问题是：理发师该为自己刮胡子吗？ • 如果他为自己刮胡子，那么按照他的豪言，他不应该为自己刮胡子。 • 如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言，他又应该为自己刮胡子。 罗素悖论 • 假设 A={所有集合} • 令 B={A 里所有包含自己为元素的集合} • 即 B={x∈A| x∈x} • 因为 A∈A 所以 A∈B • 考虑 B 在 A 里的补集 B^c 是否属于 B^c？ • 如果 B^c∈Bc⇒B^c∈B⇒Bc∉B^c • 如果 B^c∉Bc⇒B^c∉B⇒Bc∈B^c • 以上矛盾被称为罗素悖论 • 在公理化集合论中, 我们将上述例子中的 A 看作类 • 所有的集合都是类，但是不是所有的类都是集合 • 是集合的类被称作小类，不是集合的类被称作真类 书目悖论 • 一个图书馆要编纂一本书 • 其内容是列出该图书馆里所有不列出自己书名的书的名字。 • 那么作为目录的书该不该列出自己的书名？ 思考题 • 怎么把理发师悖论与罗素悖论联系起来？ ○ 令 S={城里所有不为自己刮胡子的人} ○ 若 理发师∈S⇒理发师要为自己刮胡子⇒理发师∉S ○ 若 理发师∉S⇒理发师不应为自己刮胡子⇒理发师∈S • 怎么把书目悖论与罗素悖论联系起来？ ○ 令 S={图书馆里所有不列出自己书名的书} ○ 若 目录书∈S⇒目录书没有列出自己的书名⇒目录书∉S ○ 若 目录书∉S⇒目录书列出了自己的书名⇒目录书∈S