第6讲 势与基数（选修）

无限集合与有限集合 • 定义 ○ 若集合 A 与它的一个真子集存在一一对应，则称之为无限集合 ○ 若一个集合不是无限集合，我们称它为有限集合 • 例1 ○ 对于整数集 Z ○ 定义偶数集 2Z={2n∈Z n∈Z ○ 则 2Z⫋Z ○ 存在双射 f:Z→2Z, n↦2n ○ 故整数集 Z 为无限集合 • 例2 ○ 对于自然数集 N={0,1,2,…} ○ 定义 N 的真子集 N+1={1,2,…} ○ 存在双射 g:N→N+1, n↦n+1 ○ 故自然数集 N 为无限集合 集合的势 • 集合的势 ○ 集合的势即为集合的大小 ○ 集合 A 的势记作 |A| • 等势 ○ 集合 A 与 B 等势，当且仅当存在双射 f:A→B ○ 即 A 与 B 之间有一一对应 ○ 记作 |A|=|B| • 势之间的比较 ○ 集合 A 的势小于或等于 B 的势，当且仅当存在单射 f:A→B ○ 记作 |A|≤|B| • 等势的性质 ○ 对任意集合 A, |A|=|A| § 由恒等映射 1_A 是双射得出 ○ 如果 |A|=|B| § 根据双射的性质 § 对于双射 f:A→B，必然存在逆映射 f^(−1):B→A ○ 如果 |A|=|B| § 根据复合的性质 § 双射 f:A→B 和 g:B→C 的复合 g∘f:A→C 仍是双射 ○ 注：以上三条性质可以类比等价关系的三条性质 基数 • 引入 ○ 等势是集合与集合之间的一个等价关系 ○ 对于其每个等价类 [A]，我们用 |A| 来代替，又被称作 A 的基数 ○ 对于有限集合 A, |A|=元素的个数 ○ 我们可以将自然数定义为 N={有限集合的基数} • 记号 ○ |N=ℵ_0 ○ |R=c • 基数的性质 ○ 对任意集合 A, |A|=|A| § 可以通过恒等映射 1_A 得出 ○ 如果 |A|≤|B|, 且 |B|≤|A|，那么 |A|=|B| § 根据康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理 ○ 如果 |A|≤|B|, 且 |B|≤|C|，那么 |A|≤|C| § 根据映射的复合 ○ 注：以上三条性质可以类比偏序关系的三条性质 • 基数之间的运算 ○ |A|+|B|=|A⊔B| ○ |A|×|B|=|A×B| ○ |A|^|B| =|A^B | • 练习 1. 对于有限集合，举例验证基数运算和自然数运算是一样的 2. 如果 A 是无限集合那么有 ℵ_0≤|A| 3. |A|≤|A|+|B| 4. |A|+|A|=2|A| 5. ℵ_0×ℵ_0=ℵ_0^2=ℵ_0 6. 2^(ℵ_0 )=c • 定理：对于任意集合 A，|A|<|2^A | ○ 首先证明 |A|≤|2^A | § 构造映射 f:A→2^A, a↦{a} § 易证映射 f 为单射 ○ 再用反证法证明 |A|≠|2^A | § 假设存在双射 f:A→2^A § 定义集合 B={x∈A|x∉f(x)} § 令 b∈A 使得 f(b)=B § 若 b∈f(b)=B，那么 b∉f(b) § 若 b∉f(b)=B，那么 b∈f(b) § 存在矛盾，故不存在这样的双射 § 即 |A|≠|2^A | ○ 故 |A|<|2^A | • 连续统假设 ○ |N=ℵ_0, 2^(ℵ_0 )=c ○ 根据以上定理有 ℵ_0<c ○ 康托尔将无穷基数从小到大排列为 ℵ_0, ℵ_1, ℵ_2⋯ ○ 连续统问题即 c =┴? ℵ_0 ○ 已被证明连续统假设和公理化集合论相洽 ○ 即在公理化集合论内无法证明或真伪这个问题