第7讲 定义良好

复习 • 商集 ○ 令 A 为任意集合，~ 为 A 上的一个等价关系 ○ A\~\{[a]|a∈A} • 等价类 ○ [a]={x∈A|a~x} 定义良好 • 引入 ○ 想定义映射 f:A\~→B, [a]↦f([a]) ○ 为计算 f([a]) 一般会在 [a] 中选取一个代表元 ○ 假设 [a]=[b] 但 a≠b ○ f([a])=f([b]) 恒成立 ○ 但 f(a)=f(b) 不一定满足 • 定义 ○ 一个从商集 A\~ 到集合 B 的映射 f([a])=f(a) 定义良好 ○ 当且仅当对于任意 a~b 总有 f(a)=f(b) • 例1 ○ A\_{={24个小时}\}\{钟表上的刻度} ○ 定义函数 f:A\~→R 为该钟表刻度对应的室外温度 ○ 这个函数一般地不是定义良好 ○ 因为不能保证上午下午同一时刻的室外温度都相等 • 例2 ○ {班上的同学}\性别={男生,女生} ○ 定义函数 f 为班上男同学与女同学的成绩之差 ○ 这个函数一般地不是定义良好 ○ 因为根据选取同学的不同，结果不同 ○ 思考题：在什么样的班上这个函数是定义良好的？ • 例3 ○ 在整数集 Z 内定义等价关系 ~ 为除以正整数 n 同余 ○ 定义集合 Z\n=Z\~\{0,1,2,3,…,n−1} ○ 在 Z\n 下定义加法 +:Z\n×Z\n→Z\n,([a],[b])↦([a+b]) § 验证定义良好 § 假设 a~c, b~d，那么 [a]=[c], [b]=[d] § 我们要验证 [a+b] =┴? [c+d] § 若 a 和 c 同余，则 a−c=kn, k∈N § 若 b 和 d 同余，则 b−d=ln, l∈N § (a+b)−(c+d)=(a−c)+(b−d)=(k+l)n § 即 a+b 和 c+d 同余 § 故 [a+b]=[c+d] ○ 在 Z\n 下定义乘法 +:Z\n×Z\n→Z\n,([a],[b])↦([a×b]) § 验证定义良好 § 假设 a~c, b~d，那么 [a]=[c], [b]=[d] § 我们要验证 [a×b] =┴? [c×d] § 若 a 和 c 同余，则存在 p,q 使得 a−mp=c−mq § 若 b 和 d 同余，则存在 s,t 使得 b−ms=d−mt § （a−mp）（b−ms）=(c−mq)(d−mt) § ⇒ab−cd=m(as+bp−msp−ct−dq+mqt) § 即 ab 和 cd 同余 § 故 [a×b]=[c×d]