第8讲 群的定义

群 • 定义 ○ 一个群 (G,∗) 是一个由集合 G 以及定义在 G 上的二元运算 ∗ ○ 二元运算∗:G×G→G,(a,b)↦a∗b 要符合以下条件 i. 结合律：(a∗b)∗c=a∗(b∗c) ii. 恒等元素：G 里存在 e 使得 ∀a∈G，均有a∗e=e∗a=a iii. 逆元素：∀a∈G，存在 a^(−1)∈G，使得 a∗a^(−1)=a(−1)∗a=e ○ 注：这个二元运算又叫做乘法 • 例1：(Z+) ○ ∀m,n∈Z, m+n∈Z ○ (m+n)+l=m+(n+l) ○ m+0=0+m=m ○ m+(−m)=(−m)+m=0 • 例2：(Zn,+) • 例3：({e},∗) ○ e∗e=e ○ 我们将这个群称为平凡群 • 例4 ○ 定义 [n]={1,2,…,n} ○ 定义 S_n={所有从 [n] 到 [n] 的双射} ○ 可以证明复合运算 ∘ 在 S_n 上定义了一个群结构 § (f∘g)∘h=f∘(g∘h § 1_[n] ∘h=h∘1_[n] =h § ∀f∈S_n, f^(−1):[n]↦[n] § f∘f^(−1)=f(−1)∘f=1_[n] ○ 我们将这个群称为 n 次对称群 • 例5 ○ 在三维空间内选定一个点 P ○ ({所有围绕 P 的旋转},∘) 是一个群，记为 〖SO〗_3 • 例6 ○ 让 n 为任意正整数，构造正 n 边形 P_n ○ D_2n={所有 P_n 的对称} ○ |D_2n |=2n ○ 例如正五边形包括5个轴对称和5个中心对称 ○ (D_2n,∘) 构成一个群 ○ 我们将这个群称为二面体群 • 例7 ○ 定义 S^1={z∈ℂ│|z|=1} ○ (S^1,×) 构成一个群 ○ 若 |z|=|w|=1， ○ 我们将这个群称为单位圆群 • 阿贝尔群 ○ 阿贝尔群 = 交换群 ○ 群是可交换的当且仅当 ∀a,b, a∗b=b∗a 群的性质 • 定理 1：群的恒等元素只有一个 ○ 假设 e 和 e′ 都是恒等元素 ○ 那么 e=e∗e^′=e′ • 定理 2：对于任意元素 a ○ 假设 a 有两个逆 b,b^′ ○ b=e∗b=(b^{′∗a)∗b=b}′∗(a∗b)=b^′∗e=b′ • 定理3：对于任意 a,b∈G, (a∗b)^(−1)=b(−1)∗a^(−1) ○ (ab)(b^(−1) a^(−1) )=a(bb^(−1) ) a^(−1)=aea(−1)=aa^(−1)=e ○ (b^(−1) a^(−1) )(ab)=b^(−1) (a^(−1) a)b=b^(−1) eb=b^(−1) b=e • 定理 4：对于任意元素 a∈G，(a^(−1) )^(−1)=a ○ a∗(a^(−1) )=(a^(−1) )∗a=e ○ ⇒a=(a^(−1) )^(−1)