第9讲 子群与生成

子群 • 定义 ○ 群 (G,∗) 的一个子群是 H⊆G ○ 并且 ∗ 限定到 H 上，使得 H 称为一个群 ○ 记作 H≤G ○ 若 H 是 G 的真子群，则记作 H<G • 例1 ○ (Z+) ○ 令 nZ={kn|k∈Z ○ 则 (nZ+) 是 (Z+) 的子群 • 例2 ○ S_n=({[n]→[n] 的双射},∘) ○ 令 H={f∈S_n |f(n)=n} 则 H<S_n ○ 事实上，H 和 S_(n−1) 是一样的群 • 例3 ○ (D_2n,∘) ○ D_2n 中有两种对称，轴对称和中心旋转对称 ○ 只考虑中心旋转对称，我们可以得到一个群 (C_n,∘) ○ 则 (C_n,∘) 是 (D_2n,∘) 的子群 • 例4 ○ 对于任意群 G，{e}≤G ○ 即平凡群是任何群的子群 ○ 正如空集是任意集合的子集 子群的性质 • 定理1：如果 H≤G，那么 H 的恒等元素也是 G 的恒等元素 ○ 假设 H 的恒等元素为 e^′，那么 (e^′ )^2=e′ ○ 〖(e^′ )^(−1) (e^′ )〗^2=(e′ )^(−1) e^′ ○ 即 e^′=e • 定理2：如果 H≤G, a∈H，那么 a 在 H 里的逆等于 a 在 G 里的逆 ○ 分别把 a 在 H,G 里的逆记为 b^′,b ○ 那么有 b^′=b′ e=b^′ (ab)=(b^′ a)b=eb=b 生成 • 定义 ○ 令 G 为任意群，S 为 G 的一个子集 ○ 定义由 S 生成的子群为 ⟨S⟩=⋂8_(S≤H≤G)▒H ○ 我们把 S 称为 ⟨S⟩ 的生成集合 ○ 把 s∈S 称为 ⟨S⟩ 的生成元素 • 定理 ○ 命题 § 当 {H_α |a∈I} 是一个由 G 里的子群所组成的集合 § 那么 H=⋂8_(α∈I)▒H_α 也是 G 的子群 ○ 证明 § 封闭性（∀a,b∈H, a∗b∈H） □ 取任意 a,b∈H □ 根据交集的定义，a,b∈H_α,∀α∈I □ 根据子群的封闭性 a∗b∈H_α, ∀α∈I □ 根据交集的定义，a∗b∈H § 结合律 □ 不需要验证，直接从 G 得到 § 存在恒等元素 □ e∈H_α, ∀α □ ⇒e∈H § 存在逆 □ 对于任意 a∈H □ a∈H_α, ∀α □ ⇒a^(−1)∈H_α, ∀α □ ⇒a^(−1)∈H § 故H=⋂8_(α∈I)▒H_α 是 G 的子群 • 练习 ○ 对于 (Z+)，问以下子集生成的子群是什么？ § {0} § {8} § {8,9} ○ 证明：如果 S={n_i }⊆Z，那么 ⟨S⟩=⟨{所有 n_i 的最大公约数}⟩ ○ 证明：如果 H⊆G 那么 H≤G 当且仅当 § H 不为空集 § 对于任意 a,b∈H, a^(−1),b(−1)∈H ○ 证明：如果 G 是一个有限群，H⊆G 那么 H≤G 当且仅当 § H≠∅ § ∀a,b∈H, a∗b∈H