第15讲 向量

15.1 向量及其线性运算 • 什么是向量 ○ 向量 = 矢量 = vector ○ 物理：有大小、方向的量 ○ 几何：有向线段 ○ 代数：有序数组 • 向量的表示 ○ 粗体：α, β, γ ○ 箭头：α ⃗, β ⃗, γ ⃗ ○ 行向量(几何,物理)：α ⃗=(a_1,a_2…a_n ) ○ 列向量(代数)：β ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n ))=(b_1…b_n )^T • 注 ○ 零向量：0 ⃗=(0…0)^T ○ 负向量：−α ⃗=(−a_1,−a_2…〖−a〗_n ) ○ 相等、加法、数乘与矩阵相同 • 线性空间：所有 n 维向量组成的集合，记作 Rn，又称为向量空间 ○ 可定义加法，数乘（对加法、数乘封闭） § α ⃗, β ⃗∈Rn⇒α ⃗+β ⃗∈Rn § k∈R⇒kα ⃗∈Rn ○ 八条性质 1. α ⃗+β ⃗=β ⃗+α ⃗ 2. (α ⃗+β ⃗ )+γ ⃗=α ⃗+(β ⃗+γ ⃗ ) 3. α ⃗+(−α ⃗ )=0 ⃗ 4. α ⃗+0 ⃗=α ⃗ 5. (kl) α ⃗=k(lα ⃗ ) 6. (k+l) α ⃗=kα ⃗+lα ⃗ 7. k(α ⃗+β ⃗ )=kα ⃗+kβ ⃗ 8. 1α ⃗=α ⃗ • 线性子空间：S 是线性空间，且 S⊂Rn ○ 自然满足第1，2，5，6，7，8条性质 ○ 需要验证第3，4条性质，以及是否对加法、数乘封闭，即 § α ⃗∈S⇒┴?−α ⃗∈S § 0 ⃗∈S § α ⃗, β ⃗∈S⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S § α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S ○ 由于后两条包含了前两条，故只需验证 § {█(α ⃗, β ⃗∈S ⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S@α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S)┤ 15.2 向量的点积与叉积 • 点积（内积，点乘） ○ 定义 § α ⃗=(a_1,a_2…a_n )^T, β ⃗=(b_1,b_2…b_n )^T § α ⃗⋅β ⃗=∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n § α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^T β=(a_1,a_2…a_n )(■8(b_1@b_2@⋮@b_n ))=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n ○ 性质 § 交换律：α ⃗⋅β ⃗=β ⃗⋅α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )⋅β ⃗=α ⃗⋅(kβ ⃗ )=k(α ⃗⋅β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )⋅γ ⃗=α ⃗⋅γ ⃗+β ⃗⋅γ ⃗ § α ⃗⋅α ⃗=α ⃗^2≥0 § (α ⃗+β ⃗ )^2=α ⃗^2+β ⃗^2+2α ⃗⋅β ⃗ • 向量的长度（范数） ○ 定义 § ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗^2 )=√(a_1^2+a_22+…+a_n^2 ) § ‖(■8(AB)) ⃗ ‖=√((x_B−x_A )^2+(y_B−y_A )^2+(z_B−z_A )^2 ) ○ 性质1：‖■8(α ⃗ )‖≥0 § ‖■8(α ⃗ )‖=0⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 性质2：‖■8(kα ⃗ )‖=|k|⋅‖■8(α ⃗ )‖ § 证明略 ○ 性质3：|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § 柯西-施瓦茨不等式 § 施瓦茨不等式 § 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § |∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗|≤√(∑_(i=1)^n▒a_i2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i2 ) § 构造 γ ⃗=α ⃗+kβ ⃗ (k∈R § 则 γ ⃗^2=(α ⃗+kβ ⃗ )^2=α ⃗^2+k2 β ⃗^2+2kα ⃗⋅β ⃗≥0 恒成立 § 看作以 k 为未知数的方程，有 Δ=(2α ⃗⋅β ⃗ )^2−4α ⃗^2⋅β ⃗^2≤0 § (α ⃗⋅β ⃗ )^2≤α ⃗^2⋅β ⃗^2 § ⇒|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § （亦可用用均值不等式证明） • 向量的夹角 ○ 定义 § 根据余弦定理 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § 又因为 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=(■8(α ⃗−β ⃗ ))^2=α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^2+β ⃗^2+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ （此为几何学的内积定义） § ⇒cos⁡θ=(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ § （柯西不等式保证了−1≤(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ ≤1 ○ 正交（垂直） § θ=π/2⇔α ⃗⋅β ⃗=0 • 叉积（在 R3 中） ○ 几何定义 § {█(大小:‖■8(γ ⃗ )‖=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ sin⁡θ@方向:通过右手法则判断)┤⇒α ⃗×β ⃗=γ ⃗ ○ 代数定义 § α ⃗×β ⃗=(|■8(a_2&a_3@b_2&b_3 )|,−|■8(a_1&a_3@b_1&b_3 )|,|■8(a_1&a_2@b_1&b_2 )|) § α ⃗×β ⃗=|■8(i ̂&j ̂&k ̂@a_1&a_2&a_3@b_1&b_2&b_3 )|, 其中{█(i ̂=(1,0,0)@j ̂=(0,1,0)@k ̂=(0,0,1))┤ ○ 性质 § 反交换律：α ⃗×β ⃗=−β ⃗×α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )×β ⃗=α ⃗×(kβ ⃗ )=k(α ⃗×β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )×γ ⃗=α ⃗×γ ⃗+β ⃗×γ ⃗ 15.3 空间中的直线与平面 • 空间中的直线 ○ 已知空间内一点 P，以及方向 α ⃗，假设直线上有一点 P_0 ○ 则直线方程可以用向量形式写为 § P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ (k∈R) ○ 也可以写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),α ⃗=(a_1,a_2,a_3) ○ 可以得到直线的参数方程（显式） § {█(x=x_0+ka_1@y=y_0+ka_2@z=z_0+ka_3 )┤ ○ 将 k 约去可以得到直线的标准方程（隐式） § (x−x_0)/a_1 =(y−y_0)/a_2 =(z−z_0)/a_3 • 例1：求过空间内两点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2) 的直线方程 ○ α ⃗=(P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ○ ⇒P ⃗=(P_1 ) ⃗+k((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) ○ ⇒{█(x=x_1+k(x_2−x_1)@y=y_1+k(y_2−z_1)@z=z_1+k(z_2−z_1))┤ ○ ⇒(x−x_1)/(x_2−x_1 )=(y−y_1)/(y_2−y_1 )=(z−z_1)/(z_2−z_1 ) • 空间中的平面 ○ 确定一个平面需要平面上一个点 P_0 和该平面的法向量 β ⃗ ○ 则平面的方程可以用向量表示为 § (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 ○ 写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),β ⃗=(b_1,b_2,b_3 ) ○ 可以得到平面方程的标准形式（点法式） § b_1 (x−x_0 )+b_2 (y−y_0 )+b_3 (z−z_0 )=0 ○ 展开后可以得到平面的一般方程 § b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0 § 其中 c=−〖b_1 x〗_0−b_2 x_0−b_3 x_0 • 线性子空间 ○ 直线 § 若空间内的直线过原点 § 则直线方程 P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ 可以化为 P ⃗=kα ⃗ § 对于直线上任意两点 (P_1 ) ⃗=k_1 α ⃗ , (P_2 ) ⃗=k_2 α ⃗ ，可以得到 § (P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗=(k_1+k_2)α ⃗ , t(P_1=) ⃗〖(tk〗_1)α ⃗ § 即过原点的直线方程对加法封闭 § 故过原点的直线是 R3 的子空间 ○ 平面 § 若空间内的平面过原点 § 则平面方程 (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 可以化为 P ⃗⋅β ⃗=0 § 对于平面上任意两点 (P_1 ) ⃗⋅β ⃗=0 , (P_2 ) ⃗⋅β ⃗=0 ，可以得到 § ((P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 , (k(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § 即过原点的平面方程对加法封闭 § 故过原点的平面是 R3 的子空间 • 例2：求过三点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2), P_3 (x_3,y_3,z_3 ) 的平面方程 ○ 法1：克莱姆法则 § {█(b_1 x_1+b_2 y_1+b_3 z_1+c=0@b_1 x_2+b_2 y_2+b_3 z_2+c=0@b_1 x_3+b_2 y_3+b_3 z_3+c=0@b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0)┤ 有非零解 § ⇒|■8(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x&y&z&1)|=0 ○ 法2：向量法 § β ⃗=((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ )×((P_3 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) § =(x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1 )×(x_3−x_1,y_3−y_1,z_3−z_1 ) § =|■8(i ̂&j ̂&k ̂@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=(A_11,A_12,A_13) § (P ⃗−(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § ⇒(x−x_1 ) A_11+(y−y_1 ) A_12+(z−z_1 ) A_13=0 § ⇒|■8(x−x_1&y−y_1&z−z_1@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=0