第16讲 向量组

16.1 线性组合与线性表示 • 线性方程组用向量形式表示 ○ Ax ⃗=b ⃗ ○ ((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ x_1 (a_1 ) ⃗+…+x_n (a_n ) ⃗=b ⃗ ○ 将 b ⃗ 称为向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性组合 ○ 亦可表述为 b ⃗ 被向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表示（表出） • 定理 ○ 对于 A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )_(m×n), β ⃗=Ax ⃗ ○ 若 r(A)=r(A,β ⃗)，则 β ⃗ 可以被 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表出 • 例1：0 ⃗ 可以被任意向量线性表出 ○ 0 ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 例2：任意 α ⃗∈Rn 可以被 (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0))…(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) ○ α ⃗=(■8(a_1@⋮@a_n ))=a_1 (e_1 ) ⃗+a_2 (e_2 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗ ○ 注： (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 被称为初始单位向量组 • 例3：(a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 可以线性表出 (a_i ) ⃗ ○ (a_i ) ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+…+1⋅(a_i ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 向量组线性表示另一个向量组 ○ 将 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 记作 (B)，(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 记作 (A) ○ 若 (B) 中的每个向量都可以被 (A) 线性表示 ○ 则称 (B) 可以被 (A) 线性表示 • 向量组等价 ○ 反身性：(A) 与 (A) 等价 § (A) 可以用 (A) 线性表示 ○ 对称性：(A) 与 (B) 等价⇔(B) 与 (A) 等价 (A) 可以用 (B) 线性表示 ⇔ (B) 可以用 (A) 线性表示 ○ 传递性：若 (A) 与 (B) 等价，且 (B) 与 (C) 等价，则 (A) 与 C 等价 § 若 (B) 可以被 (A) 线性表示，且 (C) 可以被 (B) 线性表示 § 则 (C) 可以被 (A) 线性表示 ○ 故向量组等价是一种等价关系 16.2 线性相关性 • 定义 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ ○ 若上式存在 k_1…k_n 不全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 若上式解得 k_1…k_n 全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 缩写 ○ 线性相关：Linearly Independent，简写为 LI ○ 线性无关：Linearly Dependent，简写为 LD • 例1：一个向量的相关性 ○ 一个向量 α ⃗ 线性相关 ⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 一个向量 α ⃗ 线性无关 ⇔ α ⃗≠0 ⃗ • 例2：0 ⃗,(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 1⋅0 ⃗+0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ • 例3：两个非零向量 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗ 线性相关 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗=0 ⃗ ○ k_1,k_2 中必有一个不为零，若 k_1≠0 ○ 则 (a_1 ) ⃗=−k_2/k_1 (a_2 ) ⃗ ○ 即两个向量成比例 • 定理 ○ 要判断 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性相关性 ○ 即解齐次线性方程组 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ 有非零解 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 r(A)<n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 r(A)=n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 例4：求向量组 (■8(1@2@−1@5)),(■8(2@−1@1@1)),(■8(4@3@−1@11)) 的线性相关性 ○ 构造 A=(■8(1&2&4@2&−1&3@−1&1&−1@5&1&11))，消为阶梯形得 (■8(1&2&4@0&−5&−5@0&0&0@0&0&0)) ○ r(A)=2<3 • 推论1 ○ (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 是 n 个 n 维向量 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 |A|=0 时，矩阵不满秩，即 r(A)<n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 |A|≠0 时，矩阵满秩，即 r(A)=n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 推论2 ○ 向量个数大于维数，则线性相关 ○ r(A)≤维数<n 16.3 相关性定理 • 定理1 ○ 内容 § 若部分组线性相关，则原向量组线性相关 ○ 证明 § 原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 中取出部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 若部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，即 § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+0⋅(a_(s+1) ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ § 即原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 逆反 § 若原向量组线性无关，则部分组都线性无关 • 定理2 ○ 内容 § 若砍掉部分分量后线性无关，则原向量组线性无关 ○ 逆反 § 原向量组线性相关，则砍掉部分分量后线性相关 ○ 例 § (■8(1@0@5))与(■8(0@1@2))线性无关，由于 (■8(1@0))与(■8(0@1))线性无关 • 定理3 ○ 内容 § 向量组线性相关，则其中至少一个向量可被其他线性表示 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关，则必定存在 § (a_i ) ⃗=k_1 (a_1 ) ⃗+…+k_(i−1) (a_(i−1) ) ⃗+k_(i+1) (a_(i+1) ) ⃗+…k_s (a_s ) ⃗ ○ 证明 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关 § 则 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ 其中必有一个 k_i≠0 § 移项得 (a_i ) ⃗=−k_1/k_i (a_1 ) ⃗…−k_s/k_i (a_s ) ⃗ • 定理4 ○ 内容 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关，加上 β ⃗ 后的向量组 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 则 β ⃗ 可被 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性表出，且表示方法唯一 ○ 证明可以被线性表出 § (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 即 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+k_(s+1) β ⃗=0 ⃗ § 若 k_(s+1)=0，则 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，与题设矛盾 § 即 k_(s+1)≠0 § ⇒β ⃗=−k_1/k_(s+1) (a_1 ) ⃗…−k_s/k_(s+1) (a_s ) ⃗ ○ 证明唯一性 § 若 β ⃗ 有两种表示方法 § β ⃗=l_1 (a_1 ) ⃗+…+l_s (a_s ) ⃗ § β ⃗=m_1 (a_1 ) ⃗+…+m_s (a_s ) ⃗ § 分别相减得 § 0 ⃗=(l_1−m_1 ) (a_1 ) ⃗+…(l_s−m_s ) (a_s ) ⃗ § ∵(a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关 § ∴{█(l_1−m_1=0@⋮@l_s−m_s=0)┤⇒{█(l_1=m_1@⋮@l_s=m_s )┤ § 即 β ⃗ 的表示方法唯一 • 定理5 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 t s，则 (B) 线性相关 ○ 证明略 ○ 逆反 § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 (B) 线性无关，则 t≤s • 推论 ○ 内容 § 若 (B) 与 (A) 等价，且线性无关，则 s=t ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 线性表示 ⇒t≤s § (A) 可以被 (B) 线性表示 ⇒s≤t § 即 s=t