第18讲 线性方程组解的结构

18.1 齐次线性方程组解的结构 • 将齐次线性方程组 Ax ⃗=0 ⃗ 的解集记为 S (Solution Set) • 解集的性质 ○ S⊆R^n ○ 对加法封闭 § 设 (ξ_1 ) ⃗∈S, (ξ_2 ) ⃗∈S § 代入得 A(ξ_1 ) ⃗=0, A(ξ_2 ) ⃗=0 § ⇒A((ξ_1 ) ⃗+(ξ_2 ) ⃗)=0 § 即 (ξ_1 ) ⃗+(ξ_2 ) ⃗∈S ○ 对数乘封闭 § 设 ξ ⃗∈S, k∈R § Aξ ⃗=0⇒kAξ ⃗=0⇒A(kξ ⃗ )=0 § 即 kξ ⃗∈S ○ S 是 R^n 的子空间 § (ξ_1 ) ⃗∈S,…, (ξ_2 ) ⃗∈S § ⇒c_1 (ξ_1 ) ⃗+…c_t (ξ_t ) ⃗∈S ○ S 是线性空间 § r(A)=n⇒S={0 ⃗ } § r(A)<n⇒子空间 18.2 基础解系 • 基础解系 ○ 齐次线性方程组解集的极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § r(A)=n⇒无基础解系 § r(A)<n⇒基础解系中向量的个数 r(S)=n−r(A) ○ 例题 § {█(x_1−x_2+5x_3−x_4=0@x_1+x_2−2x_3+3x_4=0@3x_1−x_2+8x_3+x_4=0@x_1+3x_2−9x_3+7x_4=0)┤ § ⇒(■8(1&−1&5&−1@1&1&−2&3@3&−1&8&1@1&3&−9&7)) →┴最简阶梯形 (■8(1&0&3/2&1@0&1&−7/2&2@0&0&0&0@0&0&0&0)) § ⇒{█(x_1+3/2 x_3+x_4=0@x_2−7/2 x_3+2x_4=0)⇒{█(x_1=−3/2 x_3−x_4@x_2=7/2 x_3−2x_4 )┤┤ ○ 注 § 其中 x_1, x_2 被称为约束变量，x_3, x_4 被称为自由变量 § 约束变量为最简阶梯形中首元一对应的变量 § 约束变量的个数为非零行的个数 r(A) § 自由变量的个数为 n−r(A)，即为解集 S 的秩 r(S) § 将(■8(x_3@x_4 ))=(■8(1@0))代入 x_1,x_2 得到 (ξ_1 ) ⃗=(■8(−3/2@7/2@1@0)) § 将(■8(x_3@x_4 ))=(■8(0@1))代入 x_1,x_2 得到 (ξ_2 ) ⃗=(■8(−1@−2@0@1)) § 则 (ξ_1 ) ⃗, (ξ_2 ) ⃗ 构成基础解系 § 即原方程的任意一个解 (■8(a_1@a_2@a_3@a_4 )) 都可以写成 a_3 (ξ_1 ) ⃗+a_4 (ξ_2 ) ⃗ • 定理2 ○ 内容 § A_(m×n) B_(n×p)=0⇒r(A)+r(B)≤n ○ 证一 § 令 B=((β_1 ) ⃗…(β_p ) ⃗ ) § AB=A((β_1 ) ⃗…(β_p ) ⃗ )=(A(β_1 ) ⃗, …,A(β_p ) ⃗ )=0 § ⇒A(β_1 ) ⃗=0,…,A(β_p ) ⃗=0 § 将 Ax ⃗=0 的解集记为 S § 则 (β_1 ) ⃗,…,(β_s ) ⃗∈S § 即 (β_1 ) ⃗,…,(β_s ) ⃗ 可以被 S 表出 § r(B)≤r(S)=n−r(A) § ⇒r(A)+r(B)≤n ○ 证二 § 根据 西尔维斯特(Sylvester)不等式 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n § 0 r(A)+r(B)−n § ⇒r(A)+r(B)≤n 18.3 非齐次线性方程组解的结构 • 导出组 ○ Ax ⃗=b ⃗≠0 的导出组为 Ax ⃗=0 • T 的性质 ○ 将 Ax ⃗=b ⃗ 的解集记为 T，Ax ⃗=0 的解集记为 S ○ T 不对加法封闭：已知 (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T，则 (η_1 ) ⃗+(η_2 ) ⃗∉T § (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T § ⇒A(η_1 ) ⃗=b ⃗, A(η_2 ) ⃗=b ⃗ § ⇒A((η_1 ) ⃗+(η_2 ) ⃗ )=2b ⃗≠b ⃗ ○ T 不对数乘封闭：已知 η ⃗∈T，则 kη ⃗∉T (k≠1) § η ⃗∈T § ⇒Aη ⃗=b ⃗ § 当 k≠1 时，Akη ⃗=kb ⃗≠b ⃗ ○ 已知 η ⃗∈T, ξ ⃗∈S，则 η ⃗+ξ ⃗∈T § η ⃗∈T, ξ ⃗∈S § Aη ⃗=b ⃗, Aξ ⃗=0 ⃗ § A(η ⃗+ξ ⃗ )=b ⃗+0 ⃗=b ⃗ ○ 已知 (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T，则 (η_1 ) ⃗−(η_2 ) ⃗∈S § (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T § ⇒A(η_1 ) ⃗=b ⃗, A(η_2 ) ⃗=b ⃗ § ⇒A((η_1 ) ⃗−(η_2 ) ⃗ )=b ⃗−b ⃗=0 ⃗ • 定理 ○ 内容 § (η_0 ) ⃗ 是 Ax ⃗=b ⃗ 的一个特解，ξ ⃗ 是 Ax ⃗=0 的解 § 如果 ξ ⃗ 取变 Ax ⃗=0 所有的解 § 则 (η_0 ) ⃗+ξ ⃗ 取变 Ax ⃗=b ⃗ 所有的解 ○ 证明 § 假设 η ⃗ 是 Ax ⃗=b ⃗ 的任意解 § 则 η ⃗−(η_0 ) ⃗∈S § 即在 S 中存在 ξ ⃗，使得 η ⃗−(η_0 ) ⃗=ξ ⃗ § 即 η ⃗=(η_0 ) ⃗+ξ ⃗ ○ 故 T 被称为仿射空间(affine) • 例子：{█(x_1+x_2+x_3+x_4=3@x_1+2x_2+x_3=4)┤ ○ (■8(1&1&1&1@1&2&1&0) │ ■8(3@4))→(■8(1&0&1&2@0&1&0&−1) │ ■8(2@1))⇒{█(x_1=−x_3−2x_4+2@x_2=x_3+1)┤ ○ 令 (■8(x_3@x_4 ))=(■8(0@0))，得到一特解 (η_0 ) ⃗=(■8(2@1@0@0)) ○ 计算导出组 {█(x_1+x_2+x_3+x_4=0@x_1+2x_2+x_3=0)┤ 的解为 {█(x_1=−x_3−2x_4@x_2=x_3 )┤ ○ 令 (■8(x_3@x_4 ))=(■8(1@0)),(■8(0@1))，得到 (ζ_1 ) ⃗=(■8(−1@0@1@0)), (ζ_2 ) ⃗=(■8(−2@1@0@1)) ○ η ⃗=(η_0 ) ⃗+c_1 (ζ_1 ) ⃗+c_2 (ζ_2 ) ⃗=(■8(2@1@0@0))+c_1 (■8(−1@0@1@0))+c_2 (■8(−2@1@0@1))