第19讲 特征值与特征向量

19.1 概念 • 引入 ○ 对于矩阵A_(m×n) 是，否存在一个数 λ 和非零向量 α ⃗，使得 Aα ⃗=λα ⃗ ○ α ⃗ 被称为特征向量(eigenvector) ○ λ 被称为特征值 (eigenvalue) • 特征值的解法 ○ Aα ⃗=λα ⃗ 移项后得到齐次线性方程组 ○ (λI−A) α ⃗=0 ○ 要使上式有非零解，需满足 |λI−A|=0 ○ 即 |■8(λ−a_11&−a_12&…&〖−a〗_1n@−a_21&〖λ−a〗_22&…&−a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@−a_n1&〖−a〗_n2&…&λ−a_nn )|=0 ○ 展开后得到 λ^n+(−a_11−a_22…−a_nn ) λ^(n−1)+…=0 ○ 上式被称为特征方程，等号左边被称为特征多项式 • 步骤 1. |λI−A|=0⇒求出 λ_1…λ_s 2. |λ_i I−A| α ⃗=0⇒求基础解系，求得的 α ⃗ 称为属于 λ_i 的特征向量 • 练习：A=(■8(3&1@5&−1)) ○ |λI−A|=(■8(λ−3&−1@−5&λ+1))=0 ○ λ^2−2λ−9=0 ○ λ_1=4 or λ_2=−2 ○ 当 λ_1=4 时 § |4I−A| α ⃗=(■8(1&−1@−5&5)) α ⃗=0 § |4I−A|=(■8(1&−1@−5&5))→(■8(1&−1@0&0)) § ⇒x_1=x_2 § ⇒α ⃗=c(■8(1@1)) ○ 当 λ_1=−2 时 § |4I−A|=(■8(−5&−1@−5&−1))→(■8(−5&−1@0&0)) § ⇒〖−5x〗_1=x_2 § ⇒α ⃗=c(■8(1@−5)) 19.2 几个例子 • 例1：A=(■8(1&2&2@2&1&2@2&2&1)) ○ |λI−A|=|■8(λ−1&−2&−2@−2&λ−1&−2@−2&−2&λ−1)|=|■8(λ−5&−2&−2@λ−5&λ−1&−2@λ−5&−2&λ−1)| ○ =(λ−5)|■8(1&−2&−2@1&λ−1&−2@1&−2&λ−1)|=(λ−5)|■8(1&−2&−2@0&λ+1&0@0&0&λ+1)| ○ =(λ−5) (λ+1)^2=0 ○ 即 λ_1=5,λ_2=λ_3=−1 ○ 当 λ=5 时 § λI−A=(■8(λ−1&−2&−2@−2&λ−1&−2@−2&−2&λ−1))=(■8(4&−2&−2@−2&4&−2@−2&−2&4)) § (■8(4&−2&−2@−2&4&−2@−2&−2&4))(■8(x_1@x_2@x_3 ))=0⇒α ⃗=c(■8(1@1@1)) ○ 当 λ=−1 时 § α ⃗=c(■8(−1@0@1)) • 例2：A=(■(a&&@&⋱&@&&a)) ○ |λI−A|=|■(λ−a&&@&⋱&@&&λ−a)|=0 ○ (λ−a)^n=0 ○ ⇒λ_1=…=λ_n=a ○ λI−A=0a ⃗=0 ○ α ⃗∈Rn ○ 故 α ⃗=c_1 (e_1 ) ⃗+c_2 (e_2 ) ⃗+…+c_n (e_n ) ⃗ ○ 其中 (e_1 ) ⃗=(1,0,…0)^T, (e_2 ) ⃗=(0,1,…0)^T…(e_n ) ⃗=(0,0,…1)^T • 例3 ○ 平面直角坐标系中(■8(x@y))绕原点旋转 θ 得到(■8(x′@y)) ○ 有 (■8(x′@y))=A(■8(x@y))，其中 A=(■8(cosθ&−sinθ@sinθ&cosθ)) ○ 求 A 的特征向量 ○ |λI−A|=|■8(λ−cosθ&sinθ@−sinθ&λ−cosθ)|=λ^2−2λcosθ+1=0 ○ 当 cos⁡θ≠±1，即 θ≠kπ 时，无实根 ○ 当 cos⁡θ=1，即 θ=2kπ 时 § λ=1 § ⇒λI−A=0 § ⇒α ⃗∈Rn ○ 当 cos⁡θ=−1，即 θ=(2k+1)π 时 § λ=−1 § ⇒λI−A=0 § ⇒α ⃗∈Rn 19.3 基本性质 • 性质1 ○ 内容 § 若 λ_0 是 A_(n×n) 的特征值，则 A^2 有一个特征值 λ_0^2 ○ 证明 § Aα ⃗=λ_0 α ⃗ § A(Aα ⃗)=A(λ_0 α ⃗) § A^2 α ⃗=λ_0 Aα ⃗=λ_0^2 α ⃗ § ⇒λ_0^2 是 A 的特征值 • 性质2 ○ 内容 § 若 λ_0 是 A_(n×n) 的特征值，则 kI−A 有特征值 k−λ_0 ○ 证明 § (kI−A) α ⃗=kIα ⃗−Aα ⃗=kα ⃗−λ_0 α ⃗=(k−λ_0 ) α ⃗ ○ 推广 ○ 关于 A 的任意矩阵多项式 a_n A^n+a_(n−1) A^(n−1)+…+a_1 A+a_0 I ○ 都有特征值 a_n λ_0^n+a_(n−1) λ_0^(n−1)+…+a_1 λ_0+a_0 • 性质3 ○ 内容 § 若 λ_0 是可逆矩阵 A_(n×n) 的特征值，则 A^(−1) 有特征值 1/λ_0 ○ 证明 § Aα ⃗=λ_0 α ⃗ § A^(−1) (Aα ⃗ )=A^(−1) (λ_0 α ⃗ ) § α ⃗=λ_0 A^(−1) α ⃗ § 1/λ_0 α ⃗=A^(−1) α ⃗ ○ 推广 § 若 λ_0 是可逆矩阵 A_(n×n) 的特征值，则 A^∗ 有特征值 |A|/λ_0 § A^∗ α ⃗=|A| A^(−1) α ⃗=|A|/λ_0 α ⃗ • 定理1 ○ 内容 § 若 A 奇异，则 A 有特征值 0 § 若 A 非奇异，则 A 特征值非零 ○ 证明 § |λI−A|=0 § 若 A 奇异，即 |A|=0，则显然 λ=0 是上式的根 § |A|=0⇔λ=0 • 定理2 ○ 内容 § A 与 A^T 有相同的特征值 § 注：特征向量一般不相同 ○ 证明 § |λI−A|=|(λI−A)^T |=|λI−A^T |=0 • 定理3 ○ 内容 § 属于不同特征值的特征向量线性无关 ○ 证明（两组特征向量） § 假设 A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗, A(α_2 ) ⃗=λ_2 (α_2 ) ⃗ § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 § A(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗ )=0 § k_1 A(α_1 ) ⃗+k_2 A(α_2 ) ⃗=0 § k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗=0 § 联立 {█(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0@k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗=0)┤⇒k_1 (λ_1−λ_2 ) (α_1 ) ⃗=0 § 又因为 k_1≠0, (α_1 ) ⃗≠0 § 所以 k_1=0 § 代回 k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 得 k_2=0 § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 的解为 {█(k_1=0@k_2=0)┤⇒(α_1 ) ⃗ 与 (α_2 ) ⃗ 线性无关 ○ 证明 § 假设 A(α_3 ) ⃗=λ_2 (α_3 ) ⃗ § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0 § A(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗ )=0 § k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗+k_3 λ_3 (α_3 ) ⃗=0 § 联立 {█(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0@k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗+k_3 λ_3 (α_3 ) ⃗=0)┤ § ⇒k_1 (λ_1−λ_3 ) (α_1 ) ⃗+k_2 (λ_2−λ_3 ) (α_2 ) ⃗=0 § ⇒k_1=0, k_2=0 § 代回 k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0 得 k_3=0 § 以此类推可以得到 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 均线性无关 • 根与系数的关系 ○ 对于方程 x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0=0 有 § x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0 § =(x−x_1 )(x−x_2 )…(x−x_n ) § =x^n−(x_1+x_2+…+x_n ) x^(n−1)+(x_1 x_2+x_1 x_3+…x_(n−1) x_n ) x^{(n−2)+…+(−1)}n x_1 x_2…x_n ○ 对比系数得根与系数的关系 § x_1+x_2+…+x_n=a_(n−1) § x_1 x_2…x_n=(−1)^n a_0 § x_1 x_2+x_1 x_3+…x_(n−1) x_n=a_(n−2) • 定理4 ○ 内容 § 若 A_(n×n) 有特征值 λ_1…λ_n § 则 ∑_(i=1)^n▒λ_i =∑_(i=1)^n▒a_ii , ∏_(i=1)^n▒λ_i =|A| ○ 备注 § 矩阵对角线上的元素 a_ii 之和被称为矩阵的迹 ○ 证明 § |λI−A|=0 § |■8(λ−a_11&−a_12&…&〖−a〗_1n@−a_21&〖λ−a〗_22&…&−a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@−a_n1&〖−a〗_n2&…&λ−a_nn )|=0 § λ^n−(a_11+a_22+…+a_nn ) λ^(n−1)+…+a_1 λ+a_0=0 § 根据根与系数的关系有 § λ_1+λ_2+…+λ_n=a_11+a_22+…+a_nn § λ_1 λ_2…λ_n=(−1)^n a_0 § 将 λ=0 代入 |λI−A|=λ^n…+a_1 λ+a_0 得 a_0=(−1)^n |A| § 故 λ_1 λ_2…λ_n=(−1)^n a_0=(−1)^n (−1)^n |A|=|A| • 例题 ○ A=(■8(1&−1&0@2&x&0@4&2&1))，已知 λ_1=1,λ_2=2，求 x 和 λ_3 ○ 法一 § {█(λ_1+λ_2+λ_3=1+1+x@λ_1 λ_2 λ_3=|A|=x+2)┤⇒{█(λ_3=3@x=4)┤ § 但不完全，需代回检验 ○ 法二 § |λI−A|=0 § |■8(λ−1&1&0@−2&λ−x&0@−4&−2&λ−1)|=0 § (λ−1)(■8(λ−1&1@−2&λ−x))=(λ−1)[(λ−1)(λ−x)+2]=0 § 将 λ_2=2 代入得 § (2−1)(2−x)+2=0 § ⇒x=4 § (λ−1)[(λ−1)(λ−4)+2]=0 § ⇒(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0 § ⇒λ_3=3