第1讲 预备知识

1.1 什么是线性代数 • 线性(Linear)+代数(Algrbra) • 线性代数是有限维线性空间及其线性变换的基本理论 ○ 行列式 ○ 矩阵 ○ 线性方程组 ○ 二次型 • 线性代数的地位 ○ 大学数学最重要的两门课程之一 ○ 理论自洽相容而且对大多数学生来说都易于接受 ○ 是数学抽象和逻辑推理训练的好素材 ○ 理论和算法发展最成熟、应用最广泛的数学分支之一 • 线性代数的应用 ○ 解析几何 § 空间点、线、面 § 单叶双曲面 ○ 计算机科学 ○ 社会科学 § 人口迁徙模型 § 投入产出模型 • 线性代数的特点 ○ 内容抽象，但逻辑性强 ○ 标号繁多，但规律性强 ○ 公式庞杂，但形式优美 1.2 多项式 • 定义 ○ f(x)=a_n x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0 (a_i∈R or ℂ 且 a_n≠0) • 多项式的次数 ○ deg⁡(f(x))=n • 带余除法：f(x)除以g(x) ○ f(x)=q(x)g(x)+r(x) ○ q(x)：商 ○ r(x)：余数 ○ 需满足：deg⁡(r(x))<deg⁡(g(x)) • 代数基本定理 ○ 已知 § deg≥1 的多项式在 ℂ 中有一个根 ○ 求证 § deg=n 的多项式在 ℂ 中有 n 个根 ○ 证明 § f(x)=q_1 (x)(x−x_1)+r_1 (x) § 令x=x_1， § 则 左=f(x_1 )=0，右=r_1 § ∴r_1=0, f(x)=q_1 (x)(x−x_1 ) § 重复以上步骤，可得 f(x)=a_n (x−x_1 )×…×(x−x_n ) • 根与系数的关系 ○ f(x)=a_n x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0=a_n (x−x_1 )×…×(x−x_n ) ○ n−1 次项系数 § a_(n−1)=a_n (−x_1−〖x_2〗_.−…−x_n ) § ⇒x_1+x_2+…+x_n=−a_(n−1)/a_n ○ 常数项 § a_0=a_n (−1)^n x_1 x_2…x_n § ⇒x_1 x_2…x_n=(−1)^n×a_0/a_n 1.3 排列与逆序 • 排列 ○ 由 1, 2, …n 组成的一个有序数组 i_1,i_2,…i_n 被称为 n 级排列 ○ 所有不同的n级排列共有 n! 个 • 对换 ○ 2413→┴((4,1)) 2143 • 逆序 (inversion) ○ 较大的数 i_t 排在 i_s 之前 • 逆序数 (Number of inversion) ○ N(i_1, i_2…i_n ) ○ N(4,5,2,3,1)=3+3+1+1=8 ○ N(2,4,1,3)=1+2+0=3 • 奇偶排列 ○ 逆序数为奇数的排列称为奇排列 ○ 逆序数为偶数的排列称为偶排列 • 练习：所有的3级排列 排列 123 132 213 231 312 321 N 0 1 1 2 2 3 奇偶 偶 奇 奇 偶 偶 奇 • 定理1.1：对换改变排列的奇偶性 ○ 若相邻：i_1…i_s i_(s+1) i_n→i_1…i_(s+1) i_s i_n § i_s>i_(s+1)⇒N−1 § i_s<i_(s+1)⇒N+1 ○ 若不相邻：i_1…i_s…i_t…i_n→i_1…i_t…i_s…i_n § N=N(i_s 向后移)+N(i_t 向前移) § =(t−s)+(t−s−1) § =2(t−s)−1 • 定理1.2：任意级排列中，奇偶排列各占半（n>1） ○ 对于 i_1,i_2,…i_n，存在一一对应关系：奇→┴(1,2) 偶 • 定理1.3：i_1,i_2,…i_n 与 1, 2, 3…n 可通过一系列对换互变，奇偶性与对换个数一致 ○ i_1,i_2,…i_n →┴对换若干次 1, 2, 3…n ○ 奇排列→┴对换奇数次 偶排列 ○ 偶排列→┴对换偶数次 偶排列 1.4 连加号 • ∑_(i=1)^n▒a_i =a_1+a_2+…+a_n ○ i：求和指标 ○ ∑：求和号 ○ a_i：通项 • 双重求和可以交换 ○ ∑_(j=1)^n▒a_ij =a_i1+a_i2+…+a_in ○ ∑_(i=1)^{n▒∑_(j=1)}n▒a_ij =(a_11+a_12+…+a_1n )+(a_21+a_22+…+a_2n)+…+(a_n1+a_n2+…+a_nn )=∑_(j=1)^{n▒∑_(i=1)}n▒a_ij