第20讲 相似矩阵与矩阵对角化

20.1 矩阵的相似 • 定义：相似 ○ 对于矩阵 A_(n×n),B_(n×n) ，存在可逆矩阵 P 使得 B=P^(−1) AP ○ 则称矩阵 A 和矩阵 B 相似，记作 A~B • 相似是一种等价关系 ○ 反身性：A~A § A=I^(−1) AI § ⇒A~A ○ 对称性：若 A~B，则 B~A § A~B § ⇒B=P^(−1) AP § ⇒A=PBP^(−1)=(P(−1) )^(−1) B(P^(−1) ) § ⇒A~B ○ 传递性，若 A~B, B~C，则 A~C § A~B, B~C § ⇒{█(B=P_1^(−1) AP_1@C=P_2^(−1) BP_2 )┤ § ⇒C=P_2^(−1) P_1^(−1) AP_1 P_2=(P_1 P_2 )^(−1) A(P_1 P_2 ) § ⇒A~C • 矩阵关系 ○ 相似：B=P^(−1) AP ○ 等价：B=PAQ ○ 相似矩阵一定等价 ○ 等价矩阵不一定相似 • 性质1 ○ 内容 § 相似的矩阵有相同的特征值 § 但特征向量一般不相同 ○ 证明 § A~B⇒B=P^(−1) AP § |λI−A|=|P^(−1) (λI−A)P|=|P^(−1) λIP−P^(−1) AP|=|λI−B|=0 ○ 注：反之不成立（必要条件，但不充分） § A=(■8(1&0@0&1)), B=(■8(1&1@0&1)) 有相同特征值 λ=1 § 将与 A 相似的矩阵记为 C 则 § P^(−1) AP=P^(−1) IP=I § ⇒C=I≠B § 故 B 与 A 不相似 • 性质2 ○ 相似矩阵有相同的秩 § A~B § ⇒B=P^(−1) AP § ⇒r(B)=r(A) ○ 相似矩阵有相等的行列式 § |B|=|P^(−1) AP|=|P^(−1) ||A||P|=|A| ○ 相似矩阵有相等的可逆性，且可逆时 A^(−1)~B(−1) § 由于行列式相同， 可逆性必然相同 § A~B § ⇒B=P^(−1) AP § ⇒B^(−1)=(P(−1) AP)^(−1)=P(−1) A^(−1) (P^(−1) )^(−1)=P(−1) A^(−1) P § ⇒B^(−1)~A(−1) ○ 相似矩阵有相等的迹 § ∑_(i=1)^n▒a_ii =∑_(i=1)^n▒λ_i =∑_(i=1)^n▒b_ii 20.2 可对角化条件 • 定义：可对角化 ○ 矩阵 A 是否和对角矩阵相似 • 可对角化的意义 ○ (■(1&&@&2&@&&3))^{100=(■(1&&@&2}100&@&&3^100 )) ○ 若 A 与 (■(1&&@&2&@&&3)) 相似，则存在 P ○ A^100=P(−1) (■(1&&@&2&@&&3))P…P^(−1) (■(1&&@&2&@&&3))P=P^(−1) (■(1&&@&2&@&&3))^100 P • 定理1 ○ 内容 § A~Λ=(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量 ○ 证明必要性 § A~Λ=(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) § ∃P s.t. P^(−1) AP=Λ § ⇒AP=PΛ § 设 P=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) § A((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) § ⇒(A(α_1 ) ⃗,…,A(α_n ) ⃗ )=(λ_1 (α_1 ) ⃗,…,λ_n (α_n ) ⃗ ) § ⇒{█(A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗@⋮@A(α_n ) ⃗=λ_1 (α_n ) ⃗ )┤ § 即为特征向量的定义 § 又因为 P 可逆，(α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 均线性无关 ○ 证明充分性 § 将 A 线性无关的特征向量记为 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ § 构造 P=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) § 下略，只需按证明必要性的步骤倒退即可 ○ 推论 § 如果矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化 • 定理2 ○ 内容 § 若矩阵的特征方程有重根 § 且重根 λ_i 重数 n_i 等于对应的基础解系中向量个数 § 则矩阵可对角化 § n−r(λ_i I−A)=n_i ○ 证明 § 取自 λ_1 的特征向量记为 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ (s=n_1 ) § 取自 λ_2 的特征向量记为 (β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ (t=n_2 ) § 构造 k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗+l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗=0 § 以下使用反证法，证明 k_i=0, l_j=0 § 假设 k_i≠0, l_j≠0 § k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗=−(l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗ ) § 将上式记为 α ⃗=k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗=−(l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗ ) § α ⃗=k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗⇒Aα ⃗=λ_1 α ⃗ § α ⃗=−(l_1 (β_1 ) ⃗+…l_t (β_t ) ⃗ )⇒Aα ⃗=λ_2 α ⃗ § 与 λ_1≠λ_2 矛盾 § 故 k_i=0, l_j=0 • 例题：A=(■8(1&1&−1@−2&4&−2@−2&2&0)) 是否可对角化，并求 A^5 ○ |λI−A|=|■8(λ−1&−1&1@2&λ−4&2@2&−2&λ)|=|■8(λ−1&0&1@2&λ−2&2@2&λ−2&λ)|=(λ−2)|■8(λ−1&0&1@2&1&2@2&1&λ)| ○ =(λ−2)|■8(λ−1&0&1@2&1&2@0&0&λ−2)|=(λ−2)^2 (λ−1)=0 ○ ⇒λ_1=λ_2=2 or λ_3=1 ○ 当 λ_1=λ_2=2 时 § λI−A=(■8(1&1&−1@−2&−2&−2@−2&2&2)) § r(■8(1&−1&1@2&−2&2@2&−2&2))=1 § n−r(λ_i I−A)=n_i⇒可对角化 § (λI−A) α ⃗=(■8(1&1&−1@−2&−2&−2@−2&2&2)) α ⃗=0 § ⇒(α_1 ) ⃗=(■8(1@1@0)),(α_2 ) ⃗=(■8(−1@0@1)) ○ 当 λ_3=1 时 § 解得 α ⃗=(■8(1@2@2)) ○ P=(■8(1&−1&1@1&0&2@0&1&2)), Λ=(■(2&&@&2&@&&1)),且 P^(−1) AP=Λ ○ 即 A=P^(−1) ΛP ○ ⇒A^5=(P(−1) ΛP)^5=P(−1) Λ^5 P=P^(−1) (■(32&&@&32&@&&1))P=(■8(−62&94&−62@−62&62&−30@1&31&−31)) 20.3 约当标准形简介 • k阶约当块 ○ 〖J(λ)=(■(λ&1&&@&⋱&⋱&@&&⋱&1@&&&λ))〗_(k×k) • 约当矩阵 ○ J=(■(J(λ_1 )&&&@&J(λ_1 )&&@&&⋱&@&&&J(λ_1 ) )) ○ 试判断 § (■(1&&@&2&@&&3)) 是 § (■8(1&1&0@0&1&0@0&0&2)) 是 § (■8(0&1&0@0&0&1@0&0&0)) 是 § (■8(1&1&0@0&2&0@0&0&3)) 否 § (■8(1&2&0@0&1&0@0&0&2)) 否 ○ 所有三阶约当矩阵的类型 § (■8(λ_1&0&0@0&λ_2&0@0&0&λ_3 ))(■8(λ_1&0&0@0&λ_2&1@0&0&λ_3 ))(■8(λ_1&1&0@0&λ_2&0@0&0&λ_3 ))(■8(λ_1&1&0@0&λ_2&1@0&0&λ_3 )) • 定理 ○ 任意一个矩阵 A_(n×n) 都和约当矩阵相似 ○ 且约当矩阵除约当排块排序外唯一 • 例题 ○ A=(■8(−1&1&0@−4&3&0@1&0&2)) ○ 属于特征值 λ_1=2 的特征向量为 (α_1 ) ⃗=(■8(0@0@1)) ○ 属于特征值 λ_2=λ_3=1 的特征向量为 (α_2 ) ⃗=(■8(1@2@−1)) ○ 由于 λ_2=λ_3=1 的特征向量不等于重数 ○ A 不可对角化，其约当标准形为 (■8(2&0&0@0&1&1@0&0&1))