第22讲 二次型

22.1 二次型及其矩阵表示 • 二次型 ○ 二次的齐次多项式 • 两个变元的二次型 ○ 〖ax〗^{2+bxy+〖cy〗}2 • n 元二次型的一般形式 ○ a_11 x_1^2+2a_12 x_1 x_2+…+2a_1n x_1 x_n +a_22 x^2+2a_23 x_2 x_3+…+2a_2n x_2 x_n+…+a_nn x_n^2 ○ 共 n+(n−1)+…+1=n(n+1)/2 项 • 二次型矩阵 ○ f=x ⃗^T Ax ⃗ ○ x ⃗=(■8(x_1@⋮@x_n )) ○ 对称矩阵 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_12&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_1n&a_2n&…&a_nn )) 22.2 合同 • 引例 ○ 如何判断 〖ax〗^{2+2bxy+〖cy〗}2=d 为抛物线或椭圆 ○ 可以通过坐标变换(旋转)消去交叉项 2bxy ○ {█(x=x^′ cos⁡θ−y^′ sin⁡θ@y=x^′ sin⁡θ+y^′ cos⁡θ )┤ ○ 此处取 θ=π/4 得 ○ a^′ x^′2+c′ y^′2=d′ ○ 上式被称为二次型的标准形式 ○ 坐标变换用矩阵可以表示为 ○ (■8(x@y))=C(■8(x^′@y′ )) 其中 |C|≠0 ○ 或写成 x ⃗=Cy ⃗ ○ 则原二次型可以表示为 ○ f=x ⃗^T Ax ⃗=(Cy ⃗ )^T A(Cy ⃗ )=y ⃗^T C^T ACy ⃗ ○ 将 C^T AC 记为 B，则 f=x ⃗^T Bx ⃗ ○ 我们将 A 与 B 之间的关系 B=C^T AC 称为合同 • 定义 ○ 若存在可逆矩阵 C，使得 B=C^T AC ○ 则称 A 与 B 之间的关系为合同(Congruence) • 合同是一种等价关系 ○ 反身性 § A=I^T AI ○ 对称性 § B=C^T AC § ⇒A=(C^T )^(−1) BC^(−1)=(C(−1) )^T BC^(−1) ○ 传递性 § B=C_1^T 〖AC〗_1, C=C_2^T 〖BC〗_2 § ⇒C=C_2^T 〖C_1^T 〖AC〗_1 C〗_2=(C_1 C_2 )^T A(C_1 C_2 ) • 定理1 ○ 内容 § 对于任意对称矩阵 A，一定存在可逆矩阵 C § 使得 C^T AC=(■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) ○ 证明 § 由对称矩阵的性质得 § 存在正交矩阵 Q，使得 Q^(−1) AQ=Λ § 又因为 Q 为正交矩阵，即 Q^(−1)=QT § Q^T AQ=Λ § 其中 Λ=(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) 为对角矩阵 • 矩阵的三种等价关系 ○ 等价：B=PAQ ○ 相似：A~B⇔B=P^(−1) AP ○ 合同：A≃B⇔B=C^T AC • 矩阵的三种标准形 ○ 等价：D=(■8(I_r&0@0&0)) ○ 相似：约当标准型 J=(■(J_1&&@&⋱&@&&J_s )) ○ 合同：对角矩阵 (■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) 22.3 二次型的标准形 • 二次型与合同 ○ B=C^T AC=(■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) ○ f=x ⃗^T Ax ⃗→┴( x ⃗=Cy ⃗ ) f=y ⃗^T By ⃗=y ⃗^T y ⃗=a_1 y_1^2+…+a_n y_n^2 • 配方法 ○ 例1：f=x_1^2+x_1 x_2+x_2^2 § f=(x_1+x_2/2)^2+3/4 x_2^2 § 令 {█(y_1=x_1+x_2/2@y_2=x_2 )┤⇒{█(x_1=y_1−y_2/2@x_2=y_2 )┤ § ⇒C=(■8(1&−1/2@0&1)) § 即 f=y_1^2+3/4 y_2^2 § 即 A=(■8(1&1/2@1/2&1)) →┴( B=C^T AC ) B=(■8(1&0@0&3/4)) ○ 例2：f=2x_1 x_2−6x_2 x_3+2x_1 x_3 § 令 {█(x_1=y_1+y_2@x_2=y_1−y_2@x_3=y_3 )┤,即 x ⃗=C_1 y ⃗ § f=2(y_1^2−y_22 )−6(y_1−y_2 ) y_3+2(y_1+y_2 ) y_3 § 再令 {█(z_1=…@z_2=…@z_3=…)┤,即 y ⃗=C_2 z ⃗ § ⇒x ⃗=(C_1 C_2 ) z ⃗=(■8(1&1&3@0&−1&−1@0&0&1)) z ⃗ § 即 A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) →┴( B=C^T AC ) B=(■(2&&@&−2&@&&6)) • 初等变换法 ○ 原理 § C^T AC=(■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) § C=IP_1 P_2…P_s § C^T AC=P_S^T P_(S−1)^T…P_2T P_1^T AP_1 P_2…P_s § 即先对 A 做初等列变换，再做相应的初等行变换 § 构造 (■8(A@I))_(2n×n) 做一系列初等变换可以得到 (■8(B@C)) ○ 例：f=2x_1 x_2−6x_2 x_3+2x_1 x_3 § A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) § 构造 (■8(A@I))=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0@1&0&0@0&1&0@0&0&1)) § (■8(A@I)) →┴(c_1+=c_2 ) (■8(1&1&1@1&0&−3@−2&−3&0@1&0&0@1&1&0@0&0&1)) →┴(r_1+=r_2 ) (■8(2&1&−2@1&0&−3@−2&−3&0@1&0&0@1&1&0@0&0&1)) (→┴(c_2−=1/2 c_1 ))┬(c_3+=c_1 ) (■8(2&0&0@1&−1/2&−2@−2&−2&−2@1&−1/2&1@1&1/2&1@0&0&1)) (→┴(r_2−=1/2 r_1 ))┬(r_3+=r_1 ) (■8(2&0&0@0&−1/2&−2@0&−2&−2@1&−1/2&1@1&1/2&1@0&0&1)) →┴(c_3−=4c_2 ) (■8(2&0&0@0&−1/2&0@0&−2&6@1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)) →┴(r_3−=4r_2 ) (■8(2&0&0@0&−1/2&0@0&0&6@1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)) § 即 C=(■8(1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)), B=(■(2&&@&−1/2&@&&6)) ○ 注：标准形不唯一 22.4 二次型的规范形 • 标准形不唯一 ○ 观察到上题中 A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) 可以化为两种标准形 ○ A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) →┴(C=(■8(1&1&3@0&−1&−1@0&0&1)) ) B=(■(2&&@&−2&@&&6)) ○ A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) →┴(C=(■8(1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)) ) B=(■(2&&@&−1/2&@&&6)) • 二次型的规范形 ○ f=d_1 y_1^2+…+d_p y_p^2−d_(p+1) y_(p+1 )^2…−d_r y_r^2+0y_(r+1)2+…0y_n^2 ○ 令 z_1=√(d_1 ) y_1, z_2=√(d_2 ) y_2…z_r=√(d_r ) y_r ○ 代入得 f=z_1^2+…z_p2−z_(p+1)^2…−z_r2 ○ 上式被称为二次型的规范形，其中 z_i 的系数为 ±1 • 西尔维斯特惯性定理 ○ 若 A 对称，则 A≃(■(I_p&&@&−I_(r−p)&@&&0)) ○ p：正惯性指标 ○ r−p：负惯性指标 ○ r：矩阵 A 的秩