第23讲 正定二次型

23.1 二次型的有定性 • 定义 ○ 二次型 f(x ⃗ )=x ⃗^T Ax ⃗，对于任意 x≠0 ○ 若 f(x ⃗ )0 恒成立，则称为正定 ○ 若 f(x ⃗ )<0 恒成立，则称为负定 ○ 若 f(x ⃗ )≥0 恒成立，则称为半正定 ○ 若 f(x ⃗ )≤0 恒成立，则称为半负定 ○ 以上统称为有定 ○ 若 f(x ⃗ )0 也可 f(x ⃗ )<0 则成为不定 • 例子 ○ 正定：f=x_1^2+x_22 , A=(■8(1&0@0&1)) ○ 负定：f=−x_1^2−x_22 , A=(■8(−1&0@0&−1)) ○ 半正定：f=x_1^2+2x_1 x_2+x_2^2 , A=(■8(1&1@1&1)) ○ 半负定：f=−x_1^2−2x_1 x_2−x_2^2 , A=(■8(−1&−1@−1&−1)) ○ 不定：f=x_1^2−x_22 , A=(■8(1&0@0&−1)) 23.2 正定性的判定 • 正定矩阵 ○ 必须是对称矩阵 ○ 对应的二次型是正定二次型 • 定理1：合同矩阵由相同有定性 ○ B=C^T AC ○ 任取 y ⃗≠0 ○ y ⃗^T By ⃗=y ⃗^T C^T ACy ⃗=(Cy ⃗ )^T A(Cy ⃗ ) ○ ∵y ⃗≠0,(Cy ⃗ )≠0, A 是正定矩阵 ○ ∴y ⃗^T By ⃗0 • 定理2：对角矩阵 (■(d_1&&@&⋱&@&&d_n )) 正定 ⇔d_i0 (i=1…n) ○ f=d_1 y_1^2+…+d_n y_n^2 • 定理3：A 对称且正定⇔A 的规范形为 I⇔A≃I⇔A=C^T C ○ A≃(■(I_p&&@&−I_(r−p)&@&&0)) ○ ∵对角线上的元素均大于零 ○ ∴r=p=n • 推论1：A 正定⇔r=p=n ○ 证明见定理3 • 推论2：A 正定⇒|A|0 ○ A=C^T C ○ |A|=|C^T C|=|C^T ||C|=|C|^2 ○ ∵C 可逆, 即 |C|0 ○ ∴|A|0 ○ 反之不成立：(■(1&&@&−1&@&&−1)) • 定理4：A 对称且正定⇔A 的所有特征值都是正的 ○ Q^T AQ=(■8(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) • 顺序主子式 ○ (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ○ |A_1 |=a_11 ○ |A_2 |=|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )| ○ |A_k |=|■(a_11&⋯&a_1k@⋮&&⋮@a_k1&…&a_kk )| ○ |A_n |=|A| • 定理5：A 正定⇔A 的顺序主子式0 • 例：判断 A=(■8(1&1&2@1&2&3@2&3&6)) 的正定性 ○ |A_1 |=10 ○ |A_2 |=|■8(1&1@1&2)|=10 ○ |A_3 |=|A|=10 ○ 故 A 正定 23.3 正定性的应用 • 求极值 ○ 对于 n 元函数 f(x_1,…,x_n ) ○ f((x_0 ) ⃗+h⃗ )=f((x_0 ) ⃗ )+1/1! ∑_(i=1)^n▒〖f_i ((x_0 ) ⃗ ) hi 〗+1/2! ∑_(i=1)^{n▒∑_(j=1)}n▒〖f_ij ((x_0 ) ⃗+θh⃗ ) hi hj 〗+… ○ 其中 f_i=∂f/(∂x_i ), f_ij=(∂^2 f)/(∂x_i ∂x_j ) ○ 要求 f((x_0 ) ⃗) 的极值，首先需满足 f_i ((x_0 ) ⃗ )=0 (i=1…n)，即 (x_0 ) ⃗ 为驻点 ○ f((x_0 ) ⃗+h⃗ )=f((x_0 ) ⃗ )+1/2! (h1,…,hn )H(■8(h1@⋮@hn ))+… ○ 其中 H((x_0 ) ⃗ )=(■8(f_11&f_12&…&f_1n@f_21&f_22&…&f_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@f_n1&f_n2&…&f_nn )) 被称为海赛矩阵 • 定理 ○ H((x_0 ) ⃗ ) 正定⇒f((x_0 ) ⃗ ) 为极小值 ○ H((x_0 ) ⃗ ) 负定⇒f((x_0 ) ⃗ ) 为极大值 ○ H((x_0 ) ⃗ ) 不定⇒f((x_0 ) ⃗ ) 不是极值 • 例：求 f(x_1,x_2,x_3 )=x_1+x_2−e^(x_1 )−e^(x_2 )+2e^(x_3 )−e^(x_32 ) 的极值 ○ {█(f_1=1−e^(x_1 )=0@f_2=1−e^(x_2 )=0@f_3=2e^(x_3 )−2x_3 e^(x_32 )=0)┤⇒{█(x_1=0@x_2=0@x_3=1)┤⇒驻点 (x_0 ) ⃗=(■8(0@0@1)) ○ H=(■8(−e^(x_1 )&0&0@0&−e^(x_2 )&0@0&0&2e^(x_3 )−2e^(x_32 )−4x_3^2 e^(x_32 ) )) ○ H((x_0 ) ⃗ )=(■(−1&&@&−1&@&&−4e)) 负定 ○ 故驻点 (x_0 ) ⃗=(■8(0@0@1)) 为极大值