第25讲 线性空间(二)

25.1 基变换与坐标变换 • 引入 ○ 假设 n 维线性空间 V 有两组基 § (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 和 (e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ ○ 两组基之间有以下关系 § (e_1 ) ⃗^′=a_11 (e_1 ) ⃗+a_21 (e_2 ) ⃗+…a_n1 (e_n ) ⃗ § (e_2 ) ⃗^′=a_12 (e_1 ) ⃗+a_22 (e_2 ) ⃗+…a_n2 (e_n ) ⃗ § ⋮ § (e_n ) ⃗^′=a_1n (e_1 ) ⃗+a_2n (e_2 ) ⃗+…a_nn (e_n ) ⃗ ○ 可讲上式形式上记为 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 其中 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 基变换 ○ ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 可逆矩阵 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ○ A 被称为转移矩阵或过渡矩阵 (transition matrix) • 性质 ○ [((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A]B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(AB) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A+B) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )A=((e_1 ) ⃗+(e_1 ) ⃗^′,…,(e_n ) ⃗+(e_n ) ⃗^′ )A • 坐标变换 ○ 对于 α ⃗∈V，可以分别用两组基来表示 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(■8(a_1@⋮@a_n )) § α ⃗=b_1 (e_1 ) ⃗′+…+b_n (e_n ) ⃗′=((e_1 ) ⃗′…(e_n ) ⃗′)(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ 将 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A 代入得 § α ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A(■8(b_1@⋮@b_n ))=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A(■8(b_1@⋮@b_n ))) ○ 因为同一组基下的坐标表示唯一，有 § (■8(a_1@⋮@a_n ))=A(■8(b_1@⋮@b_n ))⇔(■8(b_1@⋮@b_n ))=A^(−1) (■8(a_1@⋮@a_n )) • 例题 ○ 假设 V=Rn 有两组基 § (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0)),…,(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) § (e_1 ) ⃗^′=(■8(1@1@⋮@1)),(e_2 ) ⃗^′=(■8(0@1@⋮@1)),…,(e_n ) ⃗′=(■8(0@0@⋮@1)) ○ 若 α ⃗ 在两组基下的坐标分别为 (x_1…x_n )^T, (y_1…y_n )^T § 则{█(y_1=x_1@y_1+y_2=x_2@⋮@y_1+…y_n=x_n )⇔{█(y_1=x_1@y_2=x_2−x_1@⋮@y_n=x_n−x_(n−1) )┤┤ ○ 两组基之间的关系为 § ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A § 其中转移矩阵 A=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1)) ○ 故坐标变换为 § (■8(x_1@⋮@x_n ))=A(■8(y_1@⋮@y_n ))=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1))(■8(y_1@⋮@y_n )) § (■8(y_1@⋮@y_n ))=A^(−1) (■8(x_1@⋮@x_n ))=(■(1&&&@−1&1&&@&⋱&⋱&@&&−1&1))(■8(x_1@⋮@x_n )) 25.2 线性空间的同构 • 向量和坐标之间的映射 ○ n 维线性空间 V 有一组基 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ ○ 对于任意 α ⃗∈V 都存在 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗∈V § α ⃗ 的坐标为 (a_1,…,a_n )^T∈Rn ○ 即存在映射 § V→┴σ Rn § α ⃗↦┴σ (a_1,…,a_n )^T ○ 即 σ(α ⃗ )=(a_1,…,a_n )^T ○ 故此映射是一一映上的（一一对应） ○ 且此映射还需满足 ○ 对加法封闭 § α ⃗: (a_1,…,a_n )^T § β ⃗:(b_1…b_n )^T § α ⃗+β ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗+b_1 (e_1 ) ⃗+…+b_n (e_n ) ⃗ § =(a_1+b_1 ) (e_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (e_n ) ⃗ § σ(α ⃗+β ⃗ )=(a_1+b_1,…,a_n+b_n )^T § =(a_1,…,a_n )^T+(b_1…b_n )^T=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) ○ 对数乘封闭 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) § 证明略 • 同构 ○ 数域 P 上的两个线性空间 V,V^′ ○ 若存在一个由 V 到 V′ 的一一对应 σ ○ 使得 σ(α ⃗+β ⃗ )=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) 且 (kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) ○ 则称 V 与 V′ 同构 (Isomorphic) ○ σ 被称为同构映射 (Isomorphism) • 注：任意一个 n 维线性空间 V 都与 Rn 同构 • 同构的性质 ○ σ(0)=0 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=0 ○ σ(−α ⃗ )=−σ(α ⃗ ) § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=−1 ○ 保持线性组合 § σ(k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗ )=k_1 σ((α_1 ) ⃗ )+…+k_s σ((α_s ) ⃗ ) ○ 保持线性相关性 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性相关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性相关 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性无关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性无关 ○ V 与 V′ 同构 ⇔dim⁡(V)=dim⁡(V^′ ) § 证明暂略 ○ 同构映射的逆映射还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ § 先证逆映射对加法封闭 § 即要证 σ^(−1) (σ(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § σ[σ^(−1) (σ\α ⃗ )+σ(β ⃗))]=σ\α ⃗)+σ(β ⃗)=σ(α ⃗+β ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (σ\α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § 再证逆映射对数乘封闭 § σ[σ^(−1) (kσ\α ⃗))]=kσ\α ⃗)=σ(kα ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (kσ\α ⃗))=kα ⃗ ○ 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ 和 τ: V^′→〖V′〗^′ § τ(σ(α ⃗+β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ ))+τ(σ(α ⃗ )) § 证明数乘略 • 定理1：同构是一种等价关系 ○ 反身性：V 与 V 同构 § σ(α ⃗ )=α ⃗ ○ 对称性：若 V 与 V′ 同构，则 V′ 与 V 同构 § 同构映射的逆映射还是同构映射 ○ 传递性：若 V 与 V′ 同构，V′ 与 V′′ 同构，则 V 与 V′′ 同构 § 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 • 定理2：dim⁡(V)=dim⁡(V^′ )⇒ V 与 V′ 同构 ○ n 维线性空间 V 与 Rn 同构 ○ n 维线性空间 V′ 与 Rn 同构 ○ 根据同构的传递性得 V 与 V′ 同构