第26讲 线性变换

26.1 定义与性质 • 变换 ○ 线性空间 V 到自身的映射 • 定义：线性变换 ○ 存在线性空间 V 和线性变换 A ，满足以下性质 ○ 保持向量的加法 § ∀α ⃗,β ⃗∈V § A(α ⃗+β ⃗ )=A(α ⃗ )+A(β ⃗ ) ○ 保持向量的数乘 § A(kα ⃗ )=kA(α ⃗) • 例子 ○ 零变换 § 0(α ⃗ )=0 ⃗ ○ 恒等变换（恒同变换） § I(α ⃗ )=α ⃗ ○ 缩放变换 § K(α ⃗ )=kα ⃗ ○ R2 上的旋转变换 § R2→R2 § (■8(x′@y′))=(■8(cos⁡θ&−sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ ))(■8(x@y)) ○ 矩阵变换 § Rn→Rn § α ⃗↦Aα ⃗ ○ 求导运算 § D(f(x))=f^′ (x) ○ 投影 § Π_α ⃗ (β ⃗ )=‖■8(β ⃗ )‖⋅cos⁡θ⋅■8(α ⃗ )/‖■8(α ⃗ )‖ § ∵α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ∴Π_α ⃗ (β ⃗ )=(α ⃗⋅β ⃗)/(α ⃗⋅α ⃗ )⋅α ⃗ • 性质 ○ 作用在特殊的向量 § A(0 ⃗ )=0 ⃗ § A(−α ⃗ )=−A(α ⃗ ) ○ 保持线性组合（关系） § α ⃗=k_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+k_s (ϵ_s ) ⃗ § ⇒A(α ⃗ )=k_1 A((ϵ_1 ) ⃗ )+…+k_s A((ϵ_s ) ⃗ ) ○ 保持线性相关性 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性相关⇒A((α_1 ) ⃗ )…A((α_s ) ⃗ ) 线性相关 § 但不保持线性无关性，如零变换 26.2 线性变换的运算 • 线性变换的运算 ○ 加法 § (A+B)(α ⃗ )=A(α ⃗ )+B(α ⃗ ) ○ 数乘 § (kA)(α ⃗ )=kA(α ⃗ ) ○ 乘法（复合） § AB(α ⃗ )=A(B(α ⃗ )) ○ 逆变换 § 若 AB=BA=I § 则 B 叫做 A 的逆变换，记作 A^(−1) • 线性变换乘法的性质 ○ 满足结合律 § (AB)C=A(BC) § 证明略 ○ 不满足交换律 § 由于矩阵乘法不满足交换律 ○ 恒同变换的单位元 I § IA=A=AI • 线性变换的乘积 AB 是线性变换 ○ 证明：线性变换的乘积对加法封闭 § AB(α ⃗+β ⃗ ) § =A(B(α ⃗ )+B(β ⃗ )) § =A(B(α ⃗ ))+A(B(β ⃗ )) § =AB(α ⃗ )+AB(α ⃗β ⃗ ) ○ 证明：线性变换的乘积对数乘封闭 § AB(kα ⃗ )=A(kB(α ⃗ ))=kAB(α ⃗ ) • 线性变换 A 的逆变换 A^(−1) 是线性变换 ○ 证明：线性变换的逆变换对加法封闭 § A^(−1) (α ⃗+β ⃗ ) § =A^(−1) (I(α ⃗)+I(β ⃗)) § =A^(−1) (AA^(−1) (α ⃗)+AA^(−1) (β ⃗)) § =A^(−1) [A(A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗))] § =A^(−1) A(A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗ )) § =I(A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗ )) § =A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗ ) ○ 证明：线性变换的逆变换对数乘封闭 § A^(−1) (kα ⃗ )=A^(−1) (kAA^(−1) (α ⃗ ))=kA^(−1) (α ⃗ ) • 线性变换的加法是线性变换 ○ 证明：线性变换的加法对加法封闭 § (A+B)(α ⃗+β ⃗ ) § =A(α ⃗+β ⃗ )+B(α ⃗+β ⃗ ) § =A(α ⃗ )+A(β ⃗ )+B(α ⃗ )+B(β ⃗ ) § =A(α ⃗ )+B(α ⃗ )+A(β ⃗ )+B(β ⃗ ) § =(A+B)(α ⃗ )+(A+B)(β ⃗) ○ 证明：线性变换的加法对数乘封闭 § (A+B)(kα ⃗ ) § =A(kα ⃗ )+B(kβ ⃗ ) § =kA(α ⃗ )+kB(α ⃗ ) § =k(A+B)(α ⃗) • 线性变换的数乘是线性变换 ○ 证明：线性变换的数乘对加法封闭 § (kA)(α ⃗+β ⃗ ) § =k(A(α ⃗+β ⃗ )) § =k(A(α ⃗ )+A(β ⃗ )) § =(kA)(α ⃗ )+(kA)(β ⃗) ○ 证明：线性变换的数乘对数乘封闭 § 证明略 • 定理 ○ 线性空间 V 上的所有线性变换 LT(V) 是线性空间 • 例子 26.3 线性变换的矩阵表示 • 引例 ○ 假设线性空间 V 和线性变换 A ○ 线性空间 V 内的任意向量都可以用一组基来表示 ○ 即 ∀α ⃗∈V, α ⃗=a_1 (ϵ_1 ) ⃗+…a_n (ϵ_n ) ⃗ ○ 将线性变换 A 作用在 α ⃗ 上，可以得到 ○ A(α ⃗ )=a_1 A((ϵ_1 ) ⃗ )+…+a_n A((ϵ_n ) ⃗ ) ○ 发现 A 在 α ⃗ 上的作用完全由 A 在基上的作用决定 • 性质1：线性变换由其在基上的作用决定 ○ A=B⇔A((ϵ_i ) ⃗ )=B((ϵ_i ) ⃗ ), i=1,2…n • 性质2： ∀(α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ,∃A s.t. A((ϵ_1 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗…A((ϵ_n ) ⃗ )=(α_n ) ⃗ ○ 构造 A(α ⃗ )=a_1 (α_1 ) ⃗+…a_n (α_n ) ⃗ 即满足条件 ○ 证明满足A((ϵ_i ) ⃗ )=(α_i ) ⃗ § A((ϵ_i ) ⃗ ) § =A(0(ϵ_1 ) ⃗+…+1(ϵ_i ) ⃗+…+0(ϵ_n ) ⃗ ) § =0(α_1 ) ⃗+…+1(α_i ) ⃗+…+0(α_n ) ⃗ § =(α_i ) ⃗ ○ 证明 A 对加法封闭 § A(α ⃗+β ⃗ ) § =A((a_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+a_n (ϵ_n ) ⃗ )+(b_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+b_n (ϵ_n ) ⃗ )) § =A((a_1+b_1 ) (ϵ_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (ϵ_n ) ⃗ ) § =(a_1+b_1 ) (α_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (α_n ) ⃗ § =A(α ⃗ )+A(β ⃗ ) ○ 证明 A 对数乘封闭 § A(kα ⃗ ) § =A(ka_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+ka_n (ϵ_n ) ⃗ ) § =ka_1 (α_1 ) ⃗+…+ka_n (α_n ) ⃗ § =k(a_1 (α_1 ) ⃗+…+a_n (α_n ) ⃗ ) § =kA(α ⃗ ) ○ 证毕 • 定理1 ○ 线性空间 V 内取定一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ 任取 n 个向量 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ○ 存在唯一的 A，使得 A((ϵ_i ) ⃗ )=(α_i ) ⃗ (i=1,2…n) • 线性变换的矩阵 ○ 线性空间 V 内有一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ 将线性变换 A 作用在每一个基上，得到 § A((ϵ_1 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗=a_11 (ϵ_1 ) ⃗+a_21 (ϵ_2 ) ⃗+…a_n1 (ϵ_n ) ⃗ § A((ϵ_2 ) ⃗ )=(α_2 ) ⃗=a_12 (ϵ_1 ) ⃗+a_22 (ϵ_2 ) ⃗+…a_n2 (ϵ_n ) ⃗ § ⋮ § A((ϵ_n ) ⃗ )=(α_n ) ⃗=a_1n (ϵ_1 ) ⃗+a_2n (ϵ_2 ) ⃗+…a_nn (ϵ_n ) ⃗ ○ 即 (A((ϵ_1 ) ⃗ ),A((ϵ_2 ) ⃗ )…A((ϵ_n ) ⃗ ))=((ϵ_1 ) ⃗,(ϵ_2 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A ○ 其中 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) 被称为 A 的矩阵 ○ 上式又可以写作 ○ A((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )=(A(ϵ_1 ) ⃗,…,A(ϵ_n ) ⃗)=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A • 定理2 ○ 内容 § 线性空间 V 内取定一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ § 任意线性变换 A 都与其矩阵 A 一一对应 § 并且保持加法、数乘、乘法和逆 ○ 证明线性变换保持乘法 § AB((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ) § =A(B((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )) § =A(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )B § =(A(ϵ_1 ) ⃗…A(ϵ_n ) ⃗ )B § =(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A)B § =((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(AB • 线性变换与矩阵之间的关系 ○ 线性空间 V 内有一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ 线性变换 A 对应的矩阵为 A ○ 向量 α ⃗ 的坐标为 (x_1…x_n ) ○ 经过线性变换后 A(α ⃗) 的坐标为 (y_1…y_n ) ○ 将 α ⃗ 用基底表示为 § α ⃗=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n )) ○ 故 A(α ⃗ ) 可以表示为 § A(α ⃗ )=A(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))) § =(A(ϵ_1 ) ⃗,…,A(ϵ_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n )) § =(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A)(■8(x_1@⋮@x_n )) § =((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(A(■8(x_1@⋮@x_n ))) ○ 又因为 A(α ⃗ ) 用基底表示为 § A(α ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(■8(y_1@⋮@y_n )) ○ 故 (■8(y_1@⋮@y_n ))=A(■8(x_1@⋮@x_n )) • 定理3：线性变换在两组基下的矩阵相似，反之亦然 ○ 线性空间 V 内有两组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 和 (η_1 ) ⃗…(η_2 ) ⃗ 满足 § ((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )C ① § 其中 C 为过渡矩阵 ○ 线性变换 A 在 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 下对应的矩阵为 A § 即 A((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )A ② ○ 线性变换 A 在 (η_1 ) ⃗…(η_2 ) ⃗ 下对应的矩阵为 B § 即 A((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )B ③ ○ 将 ① 代入 ③ 得 § A((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )B=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )CB ○ 将 ② 代入 ③ 得 § A((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=A((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )C=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )AB ○ 故 CB=AB⇒B=C^(−1) AC ○ 即得证