第27讲 欧几里得空间

27.1 广义内积 • Rn 中的内积、长度和角度 ○ α ⃗⋅β ⃗=a_1 b_1+…a_n b_n ○ ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗⋅α ⃗ ) ○ ∠(α ⃗,β ⃗ )=arccos⁡〖(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ 〗 • 广义内积 ○ V 是 R 上的线性空间 ○ 二元实函数 (α ⃗,β ⃗) 被称为内积，若满足 ○ 对称性 § (α ⃗,β ⃗ )=(β ⃗,α ⃗) ○ 双线性 § (kα ⃗,β ⃗ )=k(α ⃗,β ⃗ ) § (α ⃗+β ⃗,γ ⃗ )=(α ⃗,γ ⃗ )+(β ⃗,γ ⃗ ) ○ 非负性（正定性） § (α ⃗,α ⃗ )≥0 § (α ⃗,α ⃗ )=0⇔α ⃗=0 ⃗ ○ 此时称 V 为欧氏空间或内积空间 ○ 记作 E^n (Euclidean) • n×n 方阵 R(n×n) 中的内积 ○ (A,B)=tr(〖AB〗^T ) ○ 证明对称性 § (A,B)=tr(〖AB〗^T )=tr((〖AB〗^T )^T )=tr(〖BA〗^T )=(B,A) ○ 证明双线性 § (kA,B)=tr(〖kAB〗^T )=k⋅tr(〖AB〗^T )=k(A,B) § (A+B,C)=tr((A+B) C^T )=tr(AC^T+BCT ) § =tr(AC^T )+tr(BC^T )=(A,C)+(B,C) ○ 证明非负性 § (A,A)=tr(〖AA〗^T )=a_11^2+a_122+…+a_nn^2≥0 § (A,A)=0⇔A=0 • [a,b]上所有实连续函数 C[a,b] 的内积 ○ (f,g)=∫_a^b▒f(x)g(x)dx ○ 证明略 • 由广义内积自然诱导的长度（范数） ○ |α ⃗ |=√((α ⃗,α ⃗)) ○ 正定性 § |α ⃗ |≥0 § |α ⃗ |=0⇔α ⃗=0 ⃗ ○ 绝对齐次 § |kα ⃗ |=|k||α ⃗ | ○ 三角不等式 § |α ⃗+β ⃗ |≤|α ⃗ |+|β ⃗ | § 证明见柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § {█((α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ )≤(α ⃗,α ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ )+2|α ⃗ ||β ⃗ |@(α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ )=(α ⃗,α ⃗ )+2(α ⃗,β ⃗ )+(β ⃗,β ⃗))┤ § ⇒(α ⃗,β ⃗ )≤|α ⃗ ||β ⃗ | ○ 将三角不等式应用于 Rn § (α ⃗,β ⃗ )=a_1 b_1…a_n b_n § ⇒|a_1 b_1…a_n b_n |≤√(∑_(i=1)^n▒a_i2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i2 ) ○ 将三角不等式应用于 c[a,b] § (f,g)=∫_a^b▒f(x)g(x)dx § ⇒|∫_a^{b▒f(x)g(x)dx|≤√(∫_a}b▒〖f(x)^2 dx〗) √(∫_a^b▒〖g(x)2 dx〗) • 由广义内积自然诱导的距离 ○ d=|α ⃗−β ⃗ | • 由广义内积自然诱导的角度 ○ θ=arccos⁡〖((α ⃗,β ⃗ ))/|α ⃗ ||β ⃗ | 〗, 0<θ<π ○ 正交（垂直） § α ⃗⊥β ⃗⇔(α ⃗,β ⃗ )=0⇔θ=π/2 ○ 零向量 § 零向量垂直任何向量 § 只有零向量和自身垂直 ○ 勾股定理 (Pythagorean theorem) § α ⃗⊥β ⃗⇔|α ⃗+β ⃗ |^2=|α ⃗ |^2+|β ⃗ |^2 § |α ⃗+β ⃗ |^2=(α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ ) § =(α ⃗,α ⃗ )+2(α ⃗,β ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ ) § =(α ⃗,α ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ ) § =|α ⃗ |^2+|β ⃗ |^2 ○ 广义勾股定理 § (α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗,…,(α_n ) ⃗ 两两正交，则 § |(α_1 ) ⃗+…+(α_n ) ⃗ |=|(α_1 ) ⃗ |^2+…+|(α_n ) ⃗| 27.2 标准正交基 • 度量矩阵 ○ 欧几里得空间 E^n 中有一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ α ⃗=x_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+x_n (ϵ_n ) ⃗ ○ β ⃗=y_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+y_n (ϵ_n ) ⃗ ○ (α ⃗,β ⃗ )=∑_(i=1)^{n▒∑_(j=1)}n▒〖x_i y_j ((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗)〗 ○ =(x_1,…,x_n)(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn ))(■8(y_1@⋮@y_n )) ○ 其中 a_ij=((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗ ) ○ A=(a_ij )_(n×n) 叫做内积的度量矩阵 • 标准正交基 ○ ((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗ )={█(1, i=j@0, i≠j)┤⇔A_(n×n)=I_n ○ 此时 (α ⃗,β ⃗ )=(x_1,…,x_n )I(■8(y_1@⋮@y_n ))=x_1 y_1+…+x_n y_n • 定理：两个标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵，反之亦然 ○ 欧氏空间 E^n 内的两组标准正交基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 和 (η_1 ) ⃗…(η_2 ) ⃗ ○ 且满足 ((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )C ○ 要证：C^T C=I ○ ((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )(■8(c_11&c_12&…&c_1n@c_21&c_22&…&c_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@c_n1&c_n2&…&c_nn )) ○ 又因为 ((η_i ) ⃗,(η_j ) ⃗ )={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ 故 c_1i c_1j+c_2i c_2j+…+c_1n c_1n={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ 即 C 是正交矩阵 27.3 正交变换 • 定义 ○ 欧氏空间 E^n 中，保持内积不变的线性变换称为正交变换 ○ ∀α ⃗,β ⃗∈E^n, (Aα ⃗,Aβ ⃗ )=(α ⃗,β ⃗ ) ○ 几何中定义为保持距离不变的变换 • 例子：旋转 ○ R2 中的两个向量 (α_1 ) ⃗=(■8(x_1@y_1 )), (α_2 ) ⃗=(■8(x_2@y_2 )) ○ 经过旋转 θ 后得到 (β_1 ) ⃗=(■8(x_1′@y_1′)),(β_2 ) ⃗=(■8(x_2′@y_2′)) ○ ((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=x_1 x_2+y_1 y_2 ○ 令 A=(■8(cosθ&−sinθ@sinθ&cosθ))，则有 A^T A=I ○ ((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ )=(β_1 ) ⃗^T (β_2 ) ⃗=(A(α_1 ) ⃗ )^T (A(α_2 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗^T A^T A(α_2 ) ⃗=(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗ ○ 故 ((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ )=((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ ) • 定理 ○ A 是欧氏空间 E^n 中的线性变换，以下命题等价 1. A 是正交变换 (Aα ⃗,Aβ ⃗ )=(α ⃗,β ⃗ ) 2. A 保持长度不变 |Aα ⃗ |=|α ⃗ | 3. (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 是标准正交基 ⇒A(ϵ_1 ) ⃗…A(ϵ_n ) ⃗ 也是标准正交基 4. A 在任意标准正交基下的矩阵都是正交矩阵 ○ 证明 1⇒2 § (Aα ⃗,Aα ⃗ )=(α ⃗,α ⃗ ) § ⇒|Aα ⃗ |^2=|α ⃗ |^2 § ⇒|Aα ⃗ |=|α ⃗ | ○ 证明 2⇒1 § (Aα ⃗,Aα ⃗ )=(α ⃗,α ⃗ ) § (Aβ ⃗,Aβ ⃗ )=(β ⃗,β ⃗ ) § (A(α ⃗+β ⃗),A(α ⃗+β ⃗))=(α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ ) § 对于上式 {█(左=(Aα ⃗,Aα ⃗ )+(Aβ ⃗,Aβ ⃗ )+2(Aα ⃗,Aβ ⃗ )@右=2(α ⃗,β ⃗ )+(α ⃗,α ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ ) )┤ § 故 (Aα ⃗,Aβ ⃗ )=(α ⃗,β ⃗ ) ○ 证明 1⇒3 § (A(ϵ_i ) ⃗,A(ϵ_j ) ⃗ )=((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗ )={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ 证明 3⇒1 § {█(α ⃗=x_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+x_n (ϵ_n ) ⃗@β ⃗=y_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+y_n (ϵ_n ) ⃗ )┤⇒(α ⃗,β ⃗ )=∑_(i=1)^{n▒∑_(j=1)}n▒〖x_i y_j 〗 § {█(Aα ⃗=x_1 A(ϵ_1 ) ⃗+…+x_n A(ϵ_n ) ⃗@Aβ ⃗=y_1 A(ϵ_1 ) ⃗+…+y_n A(ϵ_n ) ⃗ )┤ § ∵A(ϵ_1 ) ⃗…A(ϵ_n ) ⃗ 是标准正交基 § ∴(Aα ⃗,Aβ ⃗ )=∑_(i=1)^{n▒∑_(j=1)}n▒〖x_i y_j 〗 ○ 证明 4⇔3 § A((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A § 由 27.2 的定理简单可得