第2讲 行列式

2.1 二阶与三阶行列式 • 定义 ○ |■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )|=a_11 a_22−a_12 a_21 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 a_22 a_33+a_13 a_21 a_32+a_12 a_23 a_31−a_13 a_22 a_31−a_12 a_21 a_33−a_11 a_23 a_32 • 例1：求 |■8(1&−2@3&4)| ○ |■8(1&−2@3&4)|=1×4−(−2)×3=10 • 例2：|■8(λ^2&λ@3&1)|=0，求 λ ○ |■8(λ^{2&λ@3&1)|=λ}2−3λ=0 ○ ⇒λ=0 or 3 • 例3：求 |■8(1&2&3@4&0&5@−1&0&6)| ○ |■8(1&2&3@4&0&5@−1&0&6)|=0+0−10−0−48−0=−58 • 例4：|■8(a&b&0@−b&a&0@−1&0&1)|=0，求a,b ○ |■8(a&b&0@−b&a&0@−1&0&1)|=a^2+b2=0 ○ ⇒a=0, b=0 2.2 n阶行列式 • 定义（按行） ○ |■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^(N(j_1…j_n)) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 • 满足性质 ○ 共有 n! 项 ○ 所有不同行列的排列 ○ 符号看列标的奇偶排列 • 例1：四阶行列式中 a_14 a_23 a_32 a_41 的符号 ○ N(4321)=3+2+1=6⇒正号 • 例2：四阶行列式中 a_11 a_22 a_34 a_43 的符号 ○ N(1243)=1⇒负号 • 注 ○ 行列式是数，一般用符号 D (determinant) 表示 ○ 一阶行列式 |a_11 |=a_11 ○ n 阶行列式可简写为 D=|a_ij |_(n×n) ○ 有 n! 项，正负各一半（n≥2） ○ 定义的理论意义 计算意义（除非零多） • 另一种定义 ○ |■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=∑▒〖(−1)^(N(i_1…i_n )+N(j_1…j_n ) ) a_(i_1 j_1 ) a_(i_2 j_2 )…a_(i_n j_n ) 〗 2.3 用定义计算行列式 • 下三角行列式 ○ |■8(a_11&0&0&…&0@a_21&a_22&0&…&0@a_31&a_32&a_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=(−1)^(N(12…n)) a_11 a_22…a_nn=a_11 a_22…a_nn • 上三角行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@0&a_22&a_23&…&a_2n@0&0&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&a_nn )|=a_11 a_22…a_nn • 对角线行列式 ○ |■8(a_11&0&0&…&0@0&a_22&0&…&0@0&0&a_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&a_nn )|=a_11 a_22…a_nn • 副对角线行列式 ○ |■8(0&0&…&0&a_1n@0&…&…&a_(2,n−1)&a_2n@⋮&⋮&⋰&⋮&⋮@0&a_(n−1,2)&…&…&a_(n−1,n)@a_n1&a_n2&…&a_(n,n−1)&a_nn )|=(−1)^(N(n,n−1…1)) a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1 ○ N(n, n−1…1)=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 ○ (−1)^(n(n−1)/2)={█(1, n=4k or 4k+1@−1, n=4k+2 or 4k+3)┤ ○ ⇒|■8(0&0&…&0&a_1n@0&…&…&a_(2,n−1)&a_2n@⋮&⋮&⋰&⋮&⋮@0&a_(n−1,2)&…&…&a_(n−1,n)@a_n1&a_n2&…&a_(n,n−1)&a_nn )|={█(a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1, n=4k or 4k+1@−a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1, n=4k+2 or 4k+3)┤ • 练习 ○ |■8(0&1&0&1@1&0&1&0@0&0&1&0@0&0&1&1)|=(−1)^(N(2134)) a_12 a_21 a_33 a_44=−1