第3讲 行列式的性质

3.1 行列式的性质 • 转置(Transposition) ○ D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=|a_ij | ○ D^T=|■8(a_11&a_21&…&a_n1@a_12&a_22&…&a_n2@…&…&…&…@a_1n&a_2n&…&a_nn )|=|a_ji | • 性质1 ○ 行列式转置后值不变 D^T=D ○ D^{T=∑▒〖(−1)}(N(j_1…j_n )+N(1,2…n) ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=D • 性质2 ○ 行列式交换行(列)改变符号 § D_1=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D_2=|■8(a_21&a_22&…&a_2n@a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_1=−D_2 ○ 证明 § D_2=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^(N(213…n)+N(j_1…j_n ) ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=−∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=〖−D〗_1 ○ 推论 § 行列式两行(列)相同，则 D=0 § 交换后 D=−D^′=−D⇒D=0 • 性质3 ○ 行列式可以按行(列)相加 § D_bc=|■8(b_11+c_11&b_12+c_12&…&b_1n+c_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D_b=|■8(b_11&b_12&…&b_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D_c=|■8(c_11&c_12&…&c_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_bc=D_b+D_c ○ 证明 § D_bc=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) (b_1 j_1+c_1 j_1)a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) b_1 j_1 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗+∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) c_1 j_1 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=D_b+D_c ○ 推论 § 多个相加仍成立 • 性质4 ○ 行列式可以按一行(列)提公因子 § D_k=|■8(〖ka〗_11&ka_12&…&〖ka〗_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_k=kD ○ 证明 § D_k=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) ka_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=k∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=kD ○ 推论1 § D 有一行(列)全为0，则 D=0 ○ 推论2 § D 有一行(列)成比例，则 D=0 • 性质5 ○ 把行列式一行(列)的倍数加到另一行，值不变 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D^′=|■8(a_11+ka_21&a_12+ka_22&…&a_1n+ka_2n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D=D^′ ○ 证明 § D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+k|■8(a_21&a_22&…&a_2n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+k×0=D ○ 例 § |■8(1&4&1@3&6&3@−5&1&4)| →┴(r_2−3r_1 ) |■8(1&4&1@0&−6&0@−5&1&4)| →┴(r_3+5r_1 ) |■8(1&4&1@0&−6&0@0&10&9)| →┴(r_2÷6) 6|■8(1&4&1@0&−1&0@0&10&9)| →┴(r_3+10r_2 ) 6|■8(1&4&1@0&−1&0@0&0&9)| § =6×1×(−1)×9=−54 • 性质6 ○ 若 D 有 n^2−n 个以上的零，则必定有一行(列)全为0，即 D=0 • 性质7 ○ 奇数阶反对称行列式为零 § 若 n为奇数，则 D=|■8(0&a_12&…&a_1n@−a_12&0&…&a_2n@…&…&⋱&…@−a_1n&〖−a〗_2n&…&0)|=0 ○ 证明 § D^{T=|■8(0&−a_12&…&〖−a〗_1n@a_12&0&…&〖−a〗_2n@…&…&⋱&…@a_1n&a_2n&…&0)|=(−1)}n |■8(0&a_12&…&a_1n@−a_12&0&…&a_2n@…&…&⋱&…@−a_1n&〖−a〗_2n&…&0)|=−D § D^T=D, D^T=−D⇒D=0 3.2 用行列式的性质进行计算 • 例1 ○ |■8(1&2&3@2&3&4@3&4&5)| (→┴(r_2−2r_1 ))┬(r_3−3r_1 ) |■8(1&2&3@0&−1&−2@0&−2&−4)| →┴(r_3−2r_2 ) |■8(1&2&3@0&−1&−2@0&0&0)|=0 • 例2 ○ |■8(0&1&1@2&3&4@3&4&5)| →┴(r_1↔︎r_2 )−|■8(2&3&4@0&1&1@3&4&5)| →┴(r_3−3/2 r_1 )−|■8(2&3&4@0&1&1@0&−1/2&−1)| →┴(r_3+1/2 r_2 )−|■8(2&3&4@0&1&1@0&0&−1/2)|=−2×1×(−1/2)=1 • 例3 ○ |■8(1&2&3&4@2&3&4&1@3&4&1&2@4&1&2&3)| →┴(c_1+(c_2+c_3+c_4)) |■8(10&2&3&4@10&3&4&1@10&4&1&2@10&1&2&3)| →┴(c_1÷10) 10|■8(1&2&3&4@1&3&4&1@1&4&1&2@1&1&2&3)| →┴(r_2,r_3,r_4−r_1 ) ○ 10|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&2&−2&−2@0&−1&−1&−1)| →┴(r_3÷2) 20|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&1&−1&−1@0&−1&−1&−1)| (→┴(r_3−r_2 ))┬(r_4+r_2 ) 20|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&0&−2&2@0&0&0&−4)| ○ =20×1×1×(−2)×(−4)=160