第4讲 行列式按行(列)展开

4.1 代数余子式 • 三阶行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 |■8(a_22&a_23@a_32&a_33 )|−a_22 |■8(a_21&a_23@a_31&a_33 )|+a_33 |■8(a_21&a_22@a_31&a_32 )| • 余子式 (Minor) ○ a_ij 所在的行和列划掉后剩下的行列式，记作 M_ij • 代数余子式 (Cofactor) ○ 〖A_ij=(−1)〗^(i+j) M_ij • 练习：|■8(a_11&a_12&a_13&a_14@a_21&a_22&a_23&a_24@a_31&a_32&a_33&a_34@a_41&a_42&a_43&a_44 )| ○ A_32=(−1)^(3+2) M_32=−|■8(a_11&a_13&a_14@a_21&a_23&a_24@a_41&a_43&a_44 )| ○ A_13=(−1)^(1+3) M_13=|■8(a_21&a_23&a_24@a_31&a_32&a_34@a_41&a_42&a_44 )| 4.2 行列式按一行(列)的展开 • 定理1 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) § D=a_1j A_1j+a_2j A_2j+…+a_nj A_nj (j=1,2,3… n) § 即 D=∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗 ○ 证明 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § =|■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+|■8(0&a_12&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+…+|■8(0&…&0&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § 对于第一项： □ 第一项=∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_11 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 □ =a_11 ∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第二项，第二列与第一列交换后： □ 第二项=−a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第三项，第三列和第二列交换，第二列再和第一列交换： □ 第三项=a_11 M_11=a_11 A_11 § 以此类推，可得 □ D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) • 定理2 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_s1&a_s2&…&a_sn@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn=0 ○ 证明 § 将 D 第 s 行换成第 i 行，构造 D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=0 § 将 D^′ 按 s 行展开，得 D^′=a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn ○ 总结 § ∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_it 〗={█(D, j=t@0, j≠t)┤ § ∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_sj 〗={█(D, i=s@0, i≠s)┤ • 练习：D=|■8(1&1&−1@2&1&0@3&1&1)| ○ 求 A_13+A_23+A_33 § 构造 D^′=|■8(1&1&1@2&1&1@3&1&1)|，则 D^′=A_13+A_23+A_33 § ∴A_13+A_23+A_33=D^′=0 ○ 求 A_11+A_12 § 构造 D^′=|■8(1&1&0@2&1&1@3&1&1)|，则 D^′=A_13+A_12 § ∴〖A_11+A_12=D〗^′=|■8(1&1&0@2&1&0@3&1&1)|=|■8(1&1@2&1)|=1−2=−1 4.3 范德蒙行列式 (Vandermonde Determinant) • 定义 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_22&a_3^2&…&a_n2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2(n−1)&a_3^{(n−1)&…&a_n}(n−1) )| • 前三阶范德蒙行列式 ○ V_1=1 ○ V_2=|■8(1&1@a_1&a_2 )| ○ V_3=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@a_1^2&a_22&a_3^2 )|=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =|■8(1&1&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )|=|■8(a_2−a_1&a_3−a_1@a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )|■8(1&1@a_1&a_2 )|=(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )(a_3−a_2 ) • 正序差 ○ a_j−a_i, 1≤i<j≤n • 定理 ○ V_n=正序差的乘积=∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i 〗) ○ V_n=[(a_n−a_1 )(a_(n−1)−a_1 )…(a_2−a_1 )]×[(a_n−a_2 )(a_(n−1)−a_2 )…(a_3−a_2 )]×…×(a_n−a_(n−1) ) ○ 项数=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 • 证明 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_22&a_3^2&…&a_n2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2(n−1)&a_3^{(n−1)&…&a_n}(n−1) )| ○ =|■8(1&1&1&…&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1&…&a_n−a_1@0&a_2 (a_2−a_1)&a_3 (a_3−a_1)&…&a_n (a_n−a_1)@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@0&a_2^(n−2) (a_2−a_1)&a_3^(n−2) (a_3−a_1)&…&a_n^(n−2) (a_n−a_1))| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 )|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)@a_1^2&a_22&a_3^{2&…&a_(n−1)}2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_2(n−2)&a_3^{(n−2)&…&a_(n−1)}(n−2) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 ) V_(n−1) • 例1：求|■8(1&1&1&1@1&2&3&4@1&4&9&16@1&8&27&64)| ○ 原式=(2−1)(3−1)(4−1)(3−2)(4−2)(4−3)=12 • 例2：求|■8(1&1&1&1@3&2&1&4@9&4&1&16@27&8&1&64)| ○ 原式=(2−3)(1−3)(4−3)(1−2)(4−2)(4−1)=−12 • 例3：|■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a2&b^2 )|=0, a≠b, 求x ○ |■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a2&b^2 )| ○ =|■8(a+b+x&a+b+x&a+b+x@x&a&b@x^2&a2&b^2 )| ○ =(a+b+x)|■8(1&1&1@x&a&b@x^2&a2&b^2 )| ○ =(a+b+x)(a−x)(b−x)(a−b)=0 ○ ⇒x=a or x=b or x=−a−b 4.4 行列式按多行(列)的展开 • 子式 ○ k 行 k 列交叉处组成的行列式 • 子式的余子式 ○ 行列式除去子式的部分，用 M 表示 • 代数余子式 ○ A=(−1)^(i_1+i_2+…+i_k+j_1+j_2+…+j_k ) M • 定理 ○ D=|■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@a_21&a_22&a_23&…&a_2n@a_31&a_32&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=∑_(k 行(列))▒SA ○ 其中 S 为 k 阶子式，A 为 n−k 阶代数余子式 • 例：|■8(2&3&0&0@1&2&3&0@0&1&2&3@0&0&1&2)| 按照前两行展开 ○ 原式=|■8(2&3@1&2)| (−1)^(1+2+1+2) |■8(2&3@1&2)|+|■8(2&0@1&3)| (−1)^(1+2+1+3) |■8(1&3@0&2)|+0+0+0+0 ○ =1×1+6×(−2)=−11