第7讲 矩阵

7.1 矩阵的概念 • 定义 ○ (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ m×n 矩形的阵，记作 A_(m×n) ○ a_ij (i=1…m,j=1…n) 称为矩阵的元素 • 历史 ○ 英国数学家 Sylvester 在1851年首先提出 Matrix • 表示 ○ A_(m×n)=(a_ij )_(m×n) ○ B_(p×q)=(b_ij )_(p×q) ○ 下标可以省略 • 注意点 ○ 零矩阵：a_ij=0 (i=1…m,j=1…n) ○ 非负矩阵：a_ij≥0 (i=1…m,j=1…n) ○ 方阵：n×n 的矩阵 ○ 行向量：1×n 的矩阵 ○ 列向量：n×1 的矩阵 7.2 矩阵的线性运算 • 定义：相等 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A=B⇔┴def {█(m=p@n=q@a_ij=b_ij )┤ • 定义：加法 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A+B=┴def (a_ij+b_ij )_(m×n) • 加法的性质 ○ 结合律 § (A+B)+C=A+(B+C) ○ 交换律 § A+B=B+A ○ 分配律 § 需要两种运算，暂略 ○ 负矩阵 § −A=┴def (−a_ij )_(m×n) § A+(−A)=0 ○ 单位元（0） § A+0=A • 定义：减法 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A−B=┴def A+(−B) • 定义：数乘（数量乘法） ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , k∈R ○ kA=(〖ka〗_ij )_(m×n) • 数乘的性质 ○ 结合律 § (kl)A=k(lA) ○ 交换律 § kA=Ak § 但无所谓“交换”，一般将数量放在矩阵前面 ○ 分配律（对数的加法分配） § (k+l)A=kA+lA ○ 分配律（对矩阵加法分配） § k(A+B)=kA+kB ○ 单位元（1） § 1A=A 7.3 线性空间 • 矩阵满足的性质：对于矩阵A_(m×n) , B_(m×n) , C_(m×n) 1. (A+B)+C=A+(B+C) 2. A+B=B+A 3. A+(−A)=0 4. A+0=A 5. (kl)A=k(lA) 6. (k+l)A=kA+lA 7. k(A+B)=kA+kB 8. 1A=A • 定义：线性空间 ○ • 线性空间的例子 ○ 所有 m×n 矩阵 ○ 所有 n 维向量 ○ 所有一元多项式 § 所有次数 ≤n 的一元多项式是线性空间 § 所有次数 n 的一元多项式不是线性空间，因为对加法不封闭