第9讲 特殊矩阵

9.1 对角矩阵 • 定义 ○ 除了主对角线以外都为零的矩阵 ○ a_ij=0, i≠j ○ A=(■8(a_11&0&…&0@0&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) • 性质 ○ 零矩阵是对角矩阵 ○ 同阶对角矩阵之和仍为对角矩阵 § A+B=(■8(a_11&0&…&0@0&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) ○ 对角矩阵数乘后仍为对角矩阵 § kA=(■8(〖ka〗_11&0&…&0@0&〖ka〗_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&〖ka〗_nn )) ○ 同阶对角矩阵相乘后仍为对角矩阵 § AB=(■8(a_11 b_11&0&…&0@0&a_22 b_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn b_nn )) ○ 对角矩阵转置后仍为本身 § A为对角矩阵⇒A^T=A § A^T=A⇏A为对角矩阵 § A^T=A⇒A为对称矩阵 9.2 单位矩阵 • 定义 ○ 一般用 I 或 E 表示 ○ a_ij={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ I=(■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1) • 性质 ○ 原矩阵右乘单位矩阵仍为本身 § I_m A_(m×n)=A_(m×n) § (■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1))(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn ))=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ 原矩阵左乘单位矩阵仍为本身 § A_(m×n) I_n=A_(m×n) § (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn ))(■8(1&0&…&0@0&1&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&1))=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ 规定 A^0=I 9.3 数量矩阵 • 定义 ○ a_ij={█(a, i=j@0, i≠j)┤ ○ A=(■8(a&0&…&0@0&a&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a)) • 性质 ○ 可以表示为单位矩阵数乘 § A=aI ○ 与数量矩阵相乘等价于原矩阵的数乘 § AB=aB § BA=aB ○ 与任意方阵可交换 9.4 三角形矩阵 • 上三角矩阵 ○ 主对角线左下方全为零的矩阵 ○ a_ij=0, i>j ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@0&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn )) • 下三角矩阵 ○ 主对角线右上方全为零的矩阵 ○ a_ij=0, i<j ○ A=(■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&0@⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 性质 ○ 若 A 为上(下)三角矩阵，则 kA 仍为上(下)三角矩阵 § kA=(■8(〖ka〗_11&ka_12&…&〖ka〗_1n@0&ka_22&…&ka_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&ka_nn )) ○ 若 A, B 为同阶上(下)三角矩阵，则 A+B 仍为上(下)三角矩阵 § A+B=(■8(a_11+b_11&a_12+b_12&…&a_1n+b_1n@0&a_22+b_22&…&a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&…&a_nn+b_nn )) ○ 若 A, B 为同阶上(下)三角矩阵，则 AB 仍为上(下)三角矩阵 § 设 A=(a_ij )_(n×n) (a_ij=0,i>j) § B=(b_ij )_(n×n) (b_ij=0,i>j) § C=AB=(c_ij )_(n×n) § 要证 c_ij=0,i>j § 根据定义，c_ij=∑_(k=1)^n▒〖a_ik b_kj 〗 § 对于任意 k，i>k 和 k>j 至少有一个满足 § 若 i>k, 则 a_ik=0 § 若 k>j, 则 b_kj=0 § ∴ c_ij=∑_(k=1)^n▒〖a_ik b_kj 〗=0 ,i>j § 即 C=AB 仍为上三角矩阵 ∎ 9.5 对称矩阵 • 定义 ○ A^T=A ○ A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_12&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@a_1n&a_2n&…&a_nn )) ○ A=(a_ij )_(n×n), A^T=(b_ij )_(n×n), b_ij=a_ji • 性质 ○ 若 A 对称矩阵，则 kA 仍为对称矩阵 § kA=(■8(ka_11&ka_12&…&ka_1n@ka_12&ka_22&…&ka_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@ka_1n&ka_2n&…&ka_nn )) ○ 若 A, B 为同阶对称矩阵，则 A+B 仍为对称矩阵 § A+B=(■8(a_11+b_11&a_12+b_12&…&a_1n+b_1n@a_12+b_12&a_22+b_22&…&a_2n+b_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@a_1n+b_1n&a_2n+b_2n&…&a_nn+b_nn )) ○ 若 A, B 为同阶对称矩阵，则 AB 不一定为对称矩阵 § 反例：A=(■8(0&−1@−1&1)),B=(■8(1&1@1&1))⇒AB=(■8(−1&−1@0&0 ○ AB 对称⇔ 可交换 § (AB)^T=BT A^T=BA=┴若可交换 AB ○ 对于任意 A_(m×n), A^T A 与 AA^T 对称 § (A^T A)^T=AT (A^T )^T=AT A § (AA^T )^T=(AT )^T A^T=AAT 9.6 反对称矩阵 • 定义 ○ A^T=−A ○ A=(■8(0&a_12&…&a_1n@〖−a〗_12&0&…&a_2n@⋮&⋮&⋱&⋮@〖−a〗_1n&−a_2n&…&0)) ○ A=(a_ij )_(n×n), A^T=(b_ij )_(n×n), b_ij=−a_ji • 性质 ○ 若 A 是奇数阶反对称矩阵，则 |A|=0 § 证明略 ○ 对于任意方阵 A， A+A^T 是对称方阵，A−A^T 是反对称矩阵 § (A+A^T )^T=AT+(A^T )^T=AT+A=A+A^T § (A−A^T )^T=AT−(A^T )^T=AT−A ○ 任意方阵可以写成对称矩阵与反对称矩阵之和 § A=1/2 (A+A^T )+1/2(A−A^T)