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Home / 2017 / June

第1讲 预备知识

  • Jun 25, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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1.1 什么是线性代数 • 线性(Linear)+代数(Algrbra) • 线性代数是有限维线性空间及其线性变换的基本理论 ○ 行列式 ○ 矩阵 ○ 线性方程组 ○ 二次型 • 线性代数的地位 ○ 大学数学最重要的两门课程之一 ○ 理论自洽相容而且对大多数学生来说都易于接受 ○ 是数学抽象和逻辑推理训练的好素材 ○ 理论和算法发展最成熟、应用最广泛的数学分支之一 • 线性代数的应用 ○ 解析几何 § 空间点、线、面 § 单叶双曲面 ○ 计算机科学 ○ 社会科学 § 人口迁徙模型 § 投入产出模型 • 线性代数的特点 ○ 内容抽象,但逻辑性强 ○ 标号繁多,但规律性强 ○ 公式庞杂,但形式优美 1.2 多项式 • 定义 ○ f(x)=a_n x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0 (a_i∈R or ℂ 且 a_n≠0) • 多项式的次数 ○ deg⁡(f(x))=n • 带余除法:f(x)除以g(x) ○ f(x)=q(x)g(x)+r(x) ○ q(x):商 ○ r(x):余数 ○ 需满足:deg⁡(r(x))<deg⁡(g(x)) • 代数基本定理 ○ 已知 § deg≥1 的多项式在 ℂ 中有一个根 ○ 求证 § deg=n 的多项式在 ℂ 中有 n 个根 ○ 证明 § f(x)=q_1 (x)(x−x_1)+r_1 (x) § 令x=x_1, § 则 左=f(x_1 )=0,右=r_1 § ∴r_1=0, f(x)=q_1 (x)(x−x_1 ) § 重复以上步骤,可得 f(x)=a_n (x−x_1 )×…×(x−x_n ) • 根与系数的关系 ○ f(x)=a_n x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0=a_n (x−x_1 )×…×(x−x_n ) ○ n−1 次项系数 § a_(n−1)=a_n (−x_1−〖x_2〗_.−…−x_n ) § ⇒x_1+x_2+…+x_n=−a_(n−1)/a_n ○ 常数项 § a_0=a_n (−1)^n x_1 x_2…x_n § ⇒x_1 x_2…x_n=(−1)^n×a_0/a_n 1.3 排列与逆序 • 排列 ○ 由 1, 2, …n 组成的一个有序数组 i_1,i_2,…i_n 被称为 n 级排列 ○ 所有不同的n级排列共有 n! 个 • 对换 ○ 2413→┴((4,1)) 2143 • 逆序 (inversion) ○ 较大的数 i_t 排在 i_s 之前 • 逆序数 (Number of inversion) ○ N(i_1, i_2…i_n ) ○ N(4,5,2,3,1)=3+3+1+1=8 ○ N(2,4,1,3)=1+2+0=3 • 奇偶排列 ○ 逆序数为奇数的排列称为奇排列 ○ 逆序数为偶数的排列称为偶排列 • 练习:所有的3级排列 排列 123 132 213 231 312 321 N 0 1 1 2 2 3 奇偶 偶 奇 奇 偶 偶 奇 • 定理1.1:对换改变排列的奇偶性 ○ 若相邻:i_1…i_s i_(s+1) i_n→i_1…i_(s+1) i_s i_n § i_s>i_(s+1)⇒N−1 § i_s<i_(s+1)⇒N+1 ○ 若不相邻:i_1…i_s…i_t…i_n→i_1…i_t…i_s…i_n § N=N(i_s 向后移)+N(i_t 向前移) § =(t−s)+(t−s−1) § =2(t−s)−1 • 定理1.2:任意级排列中,奇偶排列各占半(n>1) ○ 对于 i_1,i_2,…i_n,存在一一对应关系:奇→┴(1,2) 偶 • 定理1.3:i_1,i_2,…i_n 与 1, 2, 3…n 可通过一系列对换互变,奇偶性与对换个数一致 ○ i_1,i_2,…i_n →┴对换若干次 1, 2, 3…n ○ 奇排列→┴对换奇数次 偶排列 ○ 偶排列→┴对换偶数次 偶排列 1.4 连加号 • ∑_(i=1)^n▒a_i =a_1+a_2+…+a_n ○ i:求和指标 ○ ∑:求和号 ○ a_i:通项 • 双重求和可以交换 ○ ∑_(j=1)^n▒a_ij =a_i1+a_i2+…+a_in ○ ∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒a_ij =(a_11+a_12+…+a_1n )+(a_21+a_22+…+a_2n)+…+(a_n1+a_n2+…+a_nn )=∑_(j=1)^n▒∑_(i=1)^n▒a_ij
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第2讲 行列式

  • Jun 25, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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2.1 二阶与三阶行列式 • 定义 ○ |■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )|=a_11 a_22−a_12 a_21 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 a_22 a_33+a_13 a_21 a_32+a_12 a_23 a_31−a_13 a_22 a_31−a_12 a_21 a_33−a_11 a_23 a_32 • 例1:求 |■8(1&−2@3&4)| ○ |■8(1&−2@3&4)|=1×4−(−2)×3=10 • 例2:|■8(λ^2&λ@3&1)|=0,求 λ ○ |■8(λ^2&λ@3&1)|=λ^2−3λ=0 ○ ⇒λ=0 or 3 • 例3:求 |■8(1&2&3@4&0&5@−1&0&6)| ○ |■8(1&2&3@4&0&5@−1&0&6)|=0+0−10−0−48−0=−58 • 例4:|■8(a&b&0@−b&a&0@−1&0&1)|=0,求a,b ○ |■8(a&b&0@−b&a&0@−1&0&1)|=a^2+b^2=0 ○ ⇒a=0, b=0 2.2 n阶行列式 • 定义(按行) ○ |■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^(N(j_1…j_n)) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 • 满足性质 ○ 共有 n! 项 ○ 所有不同行列的排列 ○ 符号看列标的奇偶排列 • 例1:四阶行列式中 a_14 a_23 a_32 a_41 的符号 ○ N(4321)=3+2+1=6⇒正号 • 例2:四阶行列式中 a_11 a_22 a_34 a_43 的符号 ○ N(1243)=1⇒负号 • 注 ○ 行列式是数,一般用符号 D (determinant) 表示 ○ 一阶行列式 |a_11 |=a_11 ○ n 阶行列式可简写为 D=|a_ij |_(n×n) ○ 有 n! 项,正负各一半(n≥2) ○ 定义的理论意义  计算意义(除非零多) • 另一种定义 ○ |■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=∑▒〖(−1)^(N(i_1…i_n )+N(j_1…j_n ) ) a_(i_1 j_1 ) a_(i_2 j_2 )…a_(i_n j_n ) 〗 2.3 用定义计算行列式 • 下三角行列式 ○ |■8(a_11&0&0&…&0@a_21&a_22&0&…&0@a_31&a_32&a_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=(−1)^(N(12…n)) a_11 a_22…a_nn=a_11 a_22…a_nn • 上三角行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@0&a_22&a_23&…&a_2n@0&0&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&a_nn )|=a_11 a_22…a_nn • 对角线行列式 ○ |■8(a_11&0&0&…&0@0&a_22&0&…&0@0&0&a_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&a_nn )|=a_11 a_22…a_nn • 副对角线行列式 ○ |■8(0&0&…&0&a_1n@0&…&…&a_(2,n−1)&a_2n@⋮&⋮&⋰&⋮&⋮@0&a_(n−1,2)&…&…&a_(n−1,n)@a_n1&a_n2&…&a_(n,n−1)&a_nn )|=(−1)^(N(n,n−1…1)) a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1 ○ N(n, n−1…1)=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 ○ (−1)^(n(n−1)/2)={█(1, n=4k or 4k+1@−1, n=4k+2 or 4k+3)┤ ○ ⇒|■8(0&0&…&0&a_1n@0&…&…&a_(2,n−1)&a_2n@⋮&⋮&⋰&⋮&⋮@0&a_(n−1,2)&…&…&a_(n−1,n)@a_n1&a_n2&…&a_(n,n−1)&a_nn )|={█(a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1, n=4k or 4k+1@−a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1, n=4k+2 or 4k+3)┤ • 练习 ○ |■8(0&1&0&1@1&0&1&0@0&0&1&0@0&0&1&1)|=(−1)^(N(2134)) a_12 a_21 a_33 a_44=−1
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第3讲 行列式的性质

  • Jun 25, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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3.1 行列式的性质 • 转置(Transposition) ○ D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=|a_ij | ○ D^T=|■8(a_11&a_21&…&a_n1@a_12&a_22&…&a_n2@…&…&…&…@a_1n&a_2n&…&a_nn )|=|a_ji | • 性质1 ○ 行列式转置后值不变 D^T=D ○ D^T=∑▒〖(−1)^(N(j_1…j_n )+N(1,2…n) ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=D • 性质2 ○ 行列式交换行(列)改变符号 § D_1=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D_2=|■8(a_21&a_22&…&a_2n@a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_1=−D_2 ○ 证明 § D_2=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^(N(213…n)+N(j_1…j_n ) ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=−∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=〖−D〗_1 ○ 推论 § 行列式两行(列)相同,则 D=0 § 交换后 D=−D^′=−D⇒D=0 • 性质3 ○ 行列式可以按行(列)相加 § D_bc=|■8(b_11+c_11&b_12+c_12&…&b_1n+c_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D_b=|■8(b_11&b_12&…&b_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D_c=|■8(c_11&c_12&…&c_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_bc=D_b+D_c ○ 证明 § D_bc=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) (b_1 j_1+c_1 j_1)a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) b_1 j_1 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗+∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) c_1 j_1 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=D_b+D_c ○ 推论 § 多个相加仍成立 • 性质4 ○ 行列式可以按一行(列)提公因子 § D_k=|■8(〖ka〗_11&ka_12&…&〖ka〗_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_k=kD ○ 证明 § D_k=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) ka_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=k∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=kD ○ 推论1 § D 有一行(列)全为0,则 D=0 ○ 推论2 § D 有一行(列)成比例,则 D=0 • 性质5 ○ 把行列式一行(列)的倍数加到另一行,值不变 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D^′=|■8(a_11+ka_21&a_12+ka_22&…&a_1n+ka_2n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D=D^′ ○ 证明 § D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+k|■8(a_21&a_22&…&a_2n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+k×0=D ○ 例 § |■8(1&4&1@3&6&3@−5&1&4)| →┴(r_2−3r_1 ) |■8(1&4&1@0&−6&0@−5&1&4)| →┴(r_3+5r_1 ) |■8(1&4&1@0&−6&0@0&10&9)| →┴(r_2÷6) 6|■8(1&4&1@0&−1&0@0&10&9)| →┴(r_3+10r_2 ) 6|■8(1&4&1@0&−1&0@0&0&9)| § =6×1×(−1)×9=−54 • 性质6 ○ 若 D 有 n^2−n 个以上的零,则必定有一行(列)全为0,即 D=0 • 性质7 ○ 奇数阶反对称行列式为零 § 若 n为奇数,则 D=|■8(0&a_12&…&a_1n@−a_12&0&…&a_2n@…&…&⋱&…@−a_1n&〖−a〗_2n&…&0)|=0 ○ 证明 § D^T=|■8(0&−a_12&…&〖−a〗_1n@a_12&0&…&〖−a〗_2n@…&…&⋱&…@a_1n&a_2n&…&0)|=(−1)^n |■8(0&a_12&…&a_1n@−a_12&0&…&a_2n@…&…&⋱&…@−a_1n&〖−a〗_2n&…&0)|=−D § D^T=D, D^T=−D⇒D=0 3.2 用行列式的性质进行计算 • 例1 ○ |■8(1&2&3@2&3&4@3&4&5)| (→┴(r_2−2r_1 ))┬(r_3−3r_1 ) |■8(1&2&3@0&−1&−2@0&−2&−4)| →┴(r_3−2r_2 ) |■8(1&2&3@0&−1&−2@0&0&0)|=0 • 例2 ○ |■8(0&1&1@2&3&4@3&4&5)| →┴(r_1↔r_2 )−|■8(2&3&4@0&1&1@3&4&5)| →┴(r_3−3/2 r_1 )−|■8(2&3&4@0&1&1@0&−1/2&−1)| →┴(r_3+1/2 r_2 )−|■8(2&3&4@0&1&1@0&0&−1/2)|=−2×1×(−1/2)=1 • 例3 ○ |■8(1&2&3&4@2&3&4&1@3&4&1&2@4&1&2&3)| →┴(c_1+(c_2+c_3+c_4)) |■8(10&2&3&4@10&3&4&1@10&4&1&2@10&1&2&3)| →┴(c_1÷10) 10|■8(1&2&3&4@1&3&4&1@1&4&1&2@1&1&2&3)| →┴(r_2,r_3,r_4−r_1 ) ○ 10|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&2&−2&−2@0&−1&−1&−1)| →┴(r_3÷2) 20|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&1&−1&−1@0&−1&−1&−1)| (→┴(r_3−r_2 ))┬(r_4+r_2 ) 20|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&0&−2&2@0&0&0&−4)| ○ =20×1×1×(−2)×(−4)=160
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第4讲 行列式按行(列)展开

  • Jun 25, 2017
  • Shawn
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4.1 代数余子式 • 三阶行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 |■8(a_22&a_23@a_32&a_33 )|−a_22 |■8(a_21&a_23@a_31&a_33 )|+a_33 |■8(a_21&a_22@a_31&a_32 )| • 余子式 (Minor) ○ a_ij 所在的行和列划掉后剩下的行列式,记作 M_ij • 代数余子式 (Cofactor) ○ 〖A_ij=(−1)〗^(i+j) M_ij • 练习:|■8(a_11&a_12&a_13&a_14@a_21&a_22&a_23&a_24@a_31&a_32&a_33&a_34@a_41&a_42&a_43&a_44 )| ○ A_32=(−1)^(3+2) M_32=−|■8(a_11&a_13&a_14@a_21&a_23&a_24@a_41&a_43&a_44 )| ○ A_13=(−1)^(1+3) M_13=|■8(a_21&a_23&a_24@a_31&a_32&a_34@a_41&a_42&a_44 )| 4.2 行列式按一行(列)的展开 • 定理1 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) § D=a_1j A_1j+a_2j A_2j+…+a_nj A_nj (j=1,2,3… n) § 即 D=∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗 ○ 证明 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § =|■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+|■8(0&a_12&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+…+|■8(0&…&0&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § 对于第一项: □ 第一项=∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_11 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 □ =a_11 ∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第二项,第二列与第一列交换后: □ 第二项=−a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第三项,第三列和第二列交换,第二列再和第一列交换: □ 第三项=a_11 M_11=a_11 A_11 § 以此类推,可得 □ D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) • 定理2 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_s1&a_s2&…&a_sn@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn=0 ○ 证明 § 将 D 第 s 行换成第 i 行,构造 D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=0 § 将 D^′ 按 s 行展开,得 D^′=a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn ○ 总结 § ∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_it 〗={█(D, j=t@0, j≠t)┤ § ∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_sj 〗={█(D, i=s@0, i≠s)┤ • 练习:D=|■8(1&1&−1@2&1&0@3&1&1)| ○ 求 A_13+A_23+A_33 § 构造 D^′=|■8(1&1&1@2&1&1@3&1&1)|,则 D^′=A_13+A_23+A_33 § ∴A_13+A_23+A_33=D^′=0 ○ 求 A_11+A_12 § 构造 D^′=|■8(1&1&0@2&1&1@3&1&1)|,则 D^′=A_13+A_12 § ∴〖A_11+A_12=D〗^′=|■8(1&1&0@2&1&0@3&1&1)|=|■8(1&1@2&1)|=1−2=−1 4.3 范德蒙行列式 (Vandermonde Determinant) • 定义 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2^(n−1)&a_3^(n−1)&…&a_n^(n−1) )| • 前三阶范德蒙行列式 ○ V_1=1 ○ V_2=|■8(1&1@a_1&a_2 )| ○ V_3=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@a_1^2&a_2^2&a_3^2 )|=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =|■8(1&1&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )|=|■8(a_2−a_1&a_3−a_1@a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )|■8(1&1@a_1&a_2 )|=(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )(a_3−a_2 ) • 正序差 ○ a_j−a_i, 1≤i<j≤n • 定理 ○ V_n=正序差的乘积=∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i 〗) ○ V_n=[(a_n−a_1 )(a_(n−1)−a_1 )…(a_2−a_1 )]×[(a_n−a_2 )(a_(n−1)−a_2 )…(a_3−a_2 )]×…×(a_n−a_(n−1) ) ○ 项数=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 • 证明 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2^(n−1)&a_3^(n−1)&…&a_n^(n−1) )| ○ =|■8(1&1&1&…&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1&…&a_n−a_1@0&a_2 (a_2−a_1)&a_3 (a_3−a_1)&…&a_n (a_n−a_1)@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@0&a_2^(n−2) (a_2−a_1)&a_3^(n−2) (a_3−a_1)&…&a_n^(n−2) (a_n−a_1))| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 )|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_(n−1)^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_2^(n−2)&a_3^(n−2)&…&a_(n−1)^(n−2) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 ) V_(n−1) • 例1:求|■8(1&1&1&1@1&2&3&4@1&4&9&16@1&8&27&64)| ○ 原式=(2−1)(3−1)(4−1)(3−2)(4−2)(4−3)=12 • 例2:求|■8(1&1&1&1@3&2&1&4@9&4&1&16@27&8&1&64)| ○ 原式=(2−3)(1−3)(4−3)(1−2)(4−2)(4−1)=−12 • 例3:|■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )|=0, a≠b, 求x ○ |■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =|■8(a+b+x&a+b+x&a+b+x@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =(a+b+x)|■8(1&1&1@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =(a+b+x)(a−x)(b−x)(a−b)=0 ○ ⇒x=a or x=b or x=−a−b 4.4 行列式按多行(列)的展开 • 子式 ○ k 行 k 列交叉处组成的行列式 • 子式的余子式 ○ 行列式除去子式的部分,用 M 表示 • 代数余子式 ○ A=(−1)^(i_1+i_2+…+i_k+j_1+j_2+…+j_k ) M • 定理 ○ D=|■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@a_21&a_22&a_23&…&a_2n@a_31&a_32&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=∑_(k 行(列))▒SA ○ 其中 S 为 k 阶子式,A 为 n−k 阶代数余子式 • 例:|■8(2&3&0&0@1&2&3&0@0&1&2&3@0&0&1&2)| 按照前两行展开 ○ 原式=|■8(2&3@1&2)| (−1)^(1+2+1+2) |■8(2&3@1&2)|+|■8(2&0@1&3)| (−1)^(1+2+1+3) |■8(1&3@0&2)|+0+0+0+0 ○ =1×1+6×(−2)=−11
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第5讲 行列式的计算

  • Jun 26, 2017
  • Shawn
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5.1 基本篇 • 例1: |■8(0&1&0&…&0@0&0&2&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&n−1@n&0&0&…&0)| ○ 定义法 § D=(−1)^N(23…n−1,1) n!=(−1)^(n−1) n! ○ 对角线法 § 最后一行交换 n−1 次至第一行 § D=(−1)^(n−1) |■8(n&0&0&…&0@0&1&0&…&0@0&0&2&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&n−1)|=(−1)^(n−1) n! ○ 按照第一列展开 § D=n(−1)^(n+1) |■8(1&0&0&…&0@0&2&0&…&0@0&0&3&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&n−1)| § =n(−1)^(n+1) (n−1)!=(−1)^(n+1) n! • 例2: |■8(0&−1&−1&2@1&−1&0&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)| ○ 高斯消元法 § |■8(0&−1&−1&2@1&−1&0&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)|=−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)| § =−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&1&−1&2@0&3&1&−4)|=−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&1&−1&2@0&3&1&−4)| § =−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&0&−2&4@0&0&−2&2)|=−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&0&−2&4@0&0&0&−2)| § =−1×(−1)×(−2)×(−2)=4 ○ 展开法 § |■8(0&−1&−1&2@1&−1&0&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)|=|■8(0&−1&−1&2@1&0&1&0@−1&2&−1&0@2&1&1&0)| § =2(−1)^(1+4) |■8(1&0&1@−1&2&−1@2&1&1)|=−2|■8(1&0&1@0&2&0@2&1&1)| § =−2×2(−1)^(2+2) |■8(1&1@2&1)|=4 • 例3:已知 |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=1,求|■8(6a_11&−2a_12&−10a_13@−3a_21&a_22&5a_23@−3a_31&a_32&5a_33 )| ○ |■8(6a_11&−2a_12&−10a_13@−3a_21&a_22&5a_23@−3a_31&a_32&5a_33 )|=(−2)(−3)(5)|■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=30 • 例4:|■8(a&b&c&d@a&a+b&a+b+c&a+b+c+d@a&2a+b&3a+2b+c&4a+3b+2c+d@a&3a+b&6a+3b+c&10a+6b+3c+d)| ○ 原式=|■8(a&b&c&d@0&a&a+b&a+b+c@0&2a&3a+2b&4a+3b+2c@0&3a&6a+3b&10a+6b+3c)| ○ =|■8(a&b&c&d@0&a&a+b&a+b+c@0&0&a&2a+b@0&0&3a&7a+3b)|=|■8(a&b&c&d@0&a&a+b&a+b+c@0&0&a&2a+b@0&0&0&a)|=a^4 • 例5:已知 |■8(a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1&a_1+a_2−x&a_3&…&a_n@a_1&a_2&a_2+a_3−x&…&a_n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)+a_n−x)|=0 ○ D=|■8(a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1&a_1+a_2−x&a_3&…&a_n@a_1&a_2&a_2+a_3−x&…&a_n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)+a_n−x)| ○ =|■8(a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1&a_1−x&a_3&…&a_n@a_1&a_2&a_2−x&…&a_n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)−x)| ○ =a_1 (a_1−x)(a_2−x)…(a_(n−x)−x)=0 ○ ⇒x=a_1 or x=a_2 … x=a_(n−1) • 例6: |■8(1&1&0&0@1&k&1&0@0&0&k&2@0&0&2&k)| ○ 高斯消元法 § D=|■8(1&1&0&0@0&k−1&1&0@0&0&k&2@0&0&2&k)|=|■8(k−1&1&0@0&k&2@0&2&k)| § =(k−1)|■8(k&2@2&k)|=(k−1)(k^2−4) ○ 拉普拉斯展开(按照第三第四行) § D=|■8(k&2@2&k)| (−1)^(3+4+3+4) |■8(1&1@1&k)|=(k^2−4)(k−1) 5.2 技巧篇I—利用行列式性质 • 例1: |■8(x&a&a&…&a@a&x&a&…&a@a&a&x&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a&a&a&…&x)| ○ 原式=|■8(x+(n−1)a&a&a&…&a@x+(n−1)a&x&a&…&a@x+(n−1)a&a&x&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@x+(n−1)a&a&a&…&x)| ○ =(x+(n−1)a)|■8(1&a&a&…&a@1&x&a&…&a@1&a&x&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@1&a&a&…&x)| ○ =(x+(n−1)a)|■8(1&a&a&…&a@0&x−a&a&…&a@0&0&x−a&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&x−a)| ○ =(x+(n−1)a) (x−a)^(n−1) • 例2:|■8(a^2&(a+1)^2&(a+2)^2&(a+3)^2@b^2&(b+1)^2&(b+2)^2&(b+3)^2@c^2&(c+1)^2&(c+2)^2&(c+3)^2@d^2&(d+1)^2&(d+2)^2&(d+3)^2 )| ○ 原式=|■8(a^2&(a+1)^2&2a+3&6a+9@b^2&(b+1)^2&2b+3&6b+9@c^2&(c+1)^2&2c+3&6c+9@d^2&(d+1)^2&2d+3&6d+9)|=0 • 例3(三线型a):|■(1&a_1&&&&@−1&1−a_1&a_2&&&@&−1&1−a_2&a_3&&@&&−1&1−a_3&⋱&@&&&⋱&⋱&a_n@&&&&−1&1−a_n )| ○ 按行从上往下加 ○ 原式=|■(1&a_1&&&&@&1&a_2&&&@&&1&a_3&&@&&&1&⋱&@&&&&⋱&a_n@&&&&&1)|=1 • 例3(三线型b):|■(−a_1&a_1&&&&@&〖−a〗_2&a_2&&&@&&−a_3&a_3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&−a_n&a_n@1&1&1&…&1&1)| ○ 按列从左往右加 ○ 原式=|■(−a_1&&&&&@&〖−a〗_2&&&&@&&−a_3&&&@&&&⋱&&@&&&&−a_n&@1&2&3&…&n&n+1)|=(−1)^n (n+1) a_1…a_n • 例3(三线型c):|■(1&2&3&…&n−1&n@1&−1&&&&@&2&−2&&&@&&3&−3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&n−1&1−n)| ○ 按列从右往左加 ○ 原式=|■(n(n+1)/2&…&…&…&…&n@&−1&&&&@&&−2&&&@&&&−3&&@&&&&⋱&@&&&&&1−n)| ○ =n(n+1)/2 (−1)^(n−1) (n−1)!=(−1)^(n−1)/2 (n+1)! • 例4(箭型a):|■(a_0&1&1&…&1@1&a_1&&&@1&&a_2&&@⋮&&&⋱&@1&&&&a_n )| ○ 令 r_1−1/a_1 r_2 得|■(a_0−1/a_1 &0&1&…&1@1&a_1&&&@1&&a_2&&@⋮&&&⋱&@1&&&&a_n )| ○ =|■(a_0−1/a_1 …−1/a_n &0&0&…&0@1&a_1&&&@1&&a_2&&@⋮&&&⋱&@1&&&&a_n )| ○ =a_1…a_n (a_0−1/a_1 …−1/a_n ) • 例4(箭型b):|■8(1+a_1&1&1&…&1@1&1+a_2&1&…&1@1&1&〖1+a〗_3&…&1@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@1&1&1&…&1+a_n )| ○ 原式=|■8(1+a_1&1&1&…&1@−a_1&a_2&0&…&0@−a_1&0&a_3&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@−a_1&0&0&…&a_n )| ○ 令 r_1−1/a_2 r_2, r_1−1/a_3 r_3… r_1−1/a_n r_n 得 ○ |■8(1+a_1+a_1/a_2 +…+a_1/a_n &0&0&…&0@−a_1&a_2&0&…&0@−a_1&0&a_3&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@−a_1&0&0&…&a_n )| ○ =(1+a_1+a_1/a_2 +…+a_1/a_n )(a_2 a_3…a_n )=(1+1/a_1 +…1/a_n ) a_1…a_n 5.3 技巧篇II—利用行列式的展开 • 例1(两线型a):|■(a&b&&&@&a&b&&@&&⋱&⋱&@&&&a&b@b&&&&a)| ○ 原式=a(−1)^(1+1) |■(a&b&&@&⋱&⋱&@&&a&b@&&&a)|+b(−1)^(n+1) |■(b&&&@a&b&&@&⋱&⋱&@&&a&b)| ○ =a(−1)^(1+1) a^(n−1)+b(−1)^(n+1) b^(n−1)=a^n+(−1)^(n+1) b^n • 例1(两线型b):|■(a&&&&b@&a&&&@&&⋱&&@&&&a&@b&&&&a)| ○ 原式=a(−1)^2 |■(a&&&@&⋱&&@&&a&@&&&a)|+b(−1)^(n+1) |■(&&&b@a&&&@&⋱&&@&&a&)| ○ =a(−1)^2 a^(n−1)+b(−1)^(n+1) b(−1)^(1+n−1) |■(a&&@&⋱&@&&a)|_((n−2)×(n−2)) ○ = a(−1)^2 a^(n−1)+b(−1)^(n+1) b(−1)^(1+n−1) a^(n−2)=a^n−b^2 a^(n−2) • 例1(两线型c):D_(奇×奇)=|■(a&&&&&&b@&⋱&&&&⋰&@&&a&&b&&@&&&a&&&@&&b&&a&&@&⋰&&&&⋱&@b&&&&&&a)| ○ 令 r_i−b/a r_1 (i>(n−1)/2)得 ○ |■(a&&&&&&b@&⋱&&&&⋰&@&&a&&b&&@&&&a&&&@&&&&a−b^2/a&&@&&&&&⋱&@&&&&&&a−b^2/a)| ○ =a^((n+1)/2) (a−b^2/a)^((n−1)/2)=a(a^2−b^2 )^((n−1)/2) • 例2:|■(−a_1&a_1&&&&@&〖−a〗_2&a_2&&&@&&−a_3&a_3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&−a_n&a_n@1&1&1&…&1&1)|_((n+1)×(n+1)) ○ 全部加到第一列得 ○ |■(&a_1&&&&@&〖−a〗_2&a_2&&&@&&−a_3&a_3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&−a_n&a_n@n+1&1&1&…&1&1)|_((n+1)×(n+1)) ○ =(n+1) (−1)^(n+1+1) |■(a_1&&&&@〖−a〗_2&a_2&&&@&−a_3&a_3&&@&&⋱&⋱&@&&&−a_n&a_n )|_(n×n) ○ =(−1)^n (n+1) a_1 a_2…a_n 5.4 提高篇 • 例1:|■(x&−1&&&@&x&−1&&@&&⋱&⋱&@&&&x&−1@a_n&a_(n−1)&…&a_2&a_1+x)|_(n×n) ○ 法1:从后往前将后一列乘 x 加到前一列 § 原式=|■(0&−1&&&@&&⋱&&@&&&−1&@&&&&−1@x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n&…&…&x^2+a_1 x+a_2&a_1+x)| § =(x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n ) (−1)^(n+1) |■(−1&&&@&−1&&@&&⋱&@&&&−1)|_((n−1)×(n−1)) § =(x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n ) (−1)^(n+1) (−1)^(n−1)=x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n ○ 法2:直接展开(递推法) § 原式=x(−1)^2 |■(x&−1&&@&⋱&⋱&@&&x&−1@a_(n−1)&…&a_2&a_1+x)|+a_n (−1)^(n+1) |■(−1&&&@x&−1&&@&⋱&⋱&@&&x&−1)| § =x(−1)^2 |■(x&−1&&@&⋱&⋱&@&&x&−1@a_(n−1)&…&a_2&a_1+x)|+a_n § 将原式记为 D_n,则有 § D_n=xD_(n−1)+a_n=x(xD_(n−2)+a_(n−1) )+a_n=…=x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n • 例2: ○ 求证 § |■8(a_11+x&…&a_1n+x@⋮&⋮&⋮@a_n1+x&…&a_nn+x)|=|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+x∑_(i=1)^n▒∑128_(j=1)^n▒A_ij § (其中A_ij 为|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|的代数余子式) ○ 证明 § |■8(a_11+x&…&a_1n+x@⋮&⋮&⋮@a_n1+x&…&a_nn+x)| § =|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+|■8(x&a_12&…&a_1n@⋮&⋮&⋮&⋮@x&a_n2&…&a_nn )|+|■8(a_11&x&…&a_1n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&x&…&a_nn )|+…+|■8(a_11&…&x@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&x)| § =|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+x∑_(i=1)^n▒A_i1 +x∑_(i=1)^n▒〖A_i2+…+x∑_(i=1)^n▒A_in 〗 § =|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+x∑_(i=1)^n▒∑128_(j=1)^n▒A_ij • 例3 ○ 已知 § a_1,a_2…a_n 为互不相同的实数 § b_1,b_2…b_n 为任意一组实数 ○ 求证 § 存在唯一的多项式 f(x)=c_0+c_1 x+…c_(n−1) x^(n−1) § 使得 f(a_i )=b_i, (i=1,2…n) ○ 证明 § {█(c_0+c_1 a_1+…c_(n−1) a_1^(n−1)=b_1@c_0+c_1 a_2+…c_(n−1) a_2^(n−1)=b_2@⋮@c_0+c_1 a_n+…c_(n−1) a_n^(n−1)=b_n )┤ § 系数行列式 D=|■8(1&a_1&a_1^2&…&a_1^(n−1) @1&a_2&a_2^2&…&a_2^(n−1)@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@1&a_(n−1)&a_(n−1)^2&…&a_(n−1)^(n−1)@1&a_n&a_n^2&…&a_n^(n−1) )| § =V_n=∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i 〗) • 例4:|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&…&a_1^(n−2)@a_1^n&a_2^n&a_3^n&…&a_n^n )| ○ 构造 D_(n+1)=|■8(1&1&1&…&1&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n&x@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2&x^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&…&a_1^(n−2)&x^(n−2)@a_1^(n−1)&a_1^(n−1)&a_1^(n−1)&…&a_1^(n−1)&x^(n−1)@a_1^n&a_2^n&a_3^n&…&a_n^n&x^n )| ○ =(∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i)〗)(├0(x−a_1 ┤0)(x−a_1 )…(x−a_n)) ○ D_(n+1) 为 n 次多项式,可以写为 c_0+c_1 x+…c_(n−1) x^(n−1)+c_n x^n ○ 同时 D_(n+1) 展开得:D_(n+1)=(−1)^(n+n+1) D ○ 对比系数得 ○ D=−C_(n−1)=−(∏_(i≤i<j≤n)▒(a_j−a_i ) )(−a_1−a_2−…a_n ) ○ =(∏_(i≤i<j≤n)▒(a_j−a_i ) )(∑▒a_n )
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