第1讲 预备知识 Jun 25, 2017 Shawn Linear Algebra 1 comment 第2讲 行列式 Jun 25, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第3讲 行列式的性质 Jun 25, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第4讲 行列式按行(列)展开 Jun 25, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet
![4.1 代数余子式 • 三阶行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 |■8(a_22&a_23@a_32&a_33 )|−a_22 |■8(a_21&a_23@a_31&a_33 )|+a_33 |■8(a_21&a_22@a_31&a_32 )| • 余子式 (Minor) ○ a_ij 所在的行和列划掉后剩下的行列式，记作 M_ij • 代数余子式 (Cofactor) ○ 〖A_ij=(−1)〗^(i+j) M_ij • 练习：|■8(a_11&a_12&a_13&a_14@a_21&a_22&a_23&a_24@a_31&a_32&a_33&a_34@a_41&a_42&a_43&a_44 )| ○ A_32=(−1)^(3+2) M_32=−|■8(a_11&a_13&a_14@a_21&a_23&a_24@a_41&a_43&a_44 )| ○ A_13=(−1)^(1+3) M_13=|■8(a_21&a_23&a_24@a_31&a_32&a_34@a_41&a_42&a_44 )| 4.2 行列式按一行(列)的展开 • 定理1 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) § D=a_1j A_1j+a_2j A_2j+…+a_nj A_nj (j=1,2,3… n) § 即 D=∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗 ○ 证明 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § =|■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+|■8(0&a_12&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+…+|■8(0&…&0&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § 对于第一项： □ 第一项=∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_11 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 □ =a_11 ∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第二项，第二列与第一列交换后： □ 第二项=−a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第三项，第三列和第二列交换，第二列再和第一列交换： □ 第三项=a_11 M_11=a_11 A_11 § 以此类推，可得 □ D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) • 定理2 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_s1&a_s2&…&a_sn@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn=0 ○ 证明 § 将 D 第 s 行换成第 i 行，构造 D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=0 § 将 D^′ 按 s 行展开，得 D^′=a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn ○ 总结 § ∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_it 〗={█(D, j=t@0, j≠t)┤ § ∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_sj 〗={█(D, i=s@0, i≠s)┤ • 练习：D=|■8(1&1&−1@2&1&0@3&1&1)| ○ 求 A_13+A_23+A_33 § 构造 D^′=|■8(1&1&1@2&1&1@3&1&1)|，则 D^′=A_13+A_23+A_33 § ∴A_13+A_23+A_33=D^′=0 ○ 求 A_11+A_12 § 构造 D^′=|■8(1&1&0@2&1&1@3&1&1)|，则 D^′=A_13+A_12 § ∴〖A_11+A_12=D〗^′=|■8(1&1&0@2&1&0@3&1&1)|=|■8(1&1@2&1)|=1−2=−1 4.3 范德蒙行列式 (Vandermonde Determinant) • 定义 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2^(n−1)&a_3^(n−1)&…&a_n^(n−1) )| • 前三阶范德蒙行列式 ○ V_1=1 ○ V_2=|■8(1&1@a_1&a_2 )| ○ V_3=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@a_1^2&a_2^2&a_3^2 )|=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =|■8(1&1&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )|=|■8(a_2−a_1&a_3−a_1@a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )|■8(1&1@a_1&a_2 )|=(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )(a_3−a_2 ) • 正序差 ○ a_j−a_i, 1≤i<j≤n • 定理 ○ V_n=正序差的乘积=∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i 〗) ○ V_n=[(a_n−a_1 )(a_(n−1)−a_1 )…(a_2−a_1 )]×[(a_n−a_2 )(a_(n−1)−a_2 )…(a_3−a_2 )]×…×(a_n−a_(n−1) ) ○ 项数=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 • 证明 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2^(n−1)&a_3^(n−1)&…&a_n^(n−1) )| ○ =|■8(1&1&1&…&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1&…&a_n−a_1@0&a_2 (a_2−a_1)&a_3 (a_3−a_1)&…&a_n (a_n−a_1)@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@0&a_2^(n−2) (a_2−a_1)&a_3^(n−2) (a_3−a_1)&…&a_n^(n−2) (a_n−a_1))| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 )|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_(n−1)^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_2^(n−2)&a_3^(n−2)&…&a_(n−1)^(n−2) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 ) V_(n−1) • 例1：求|■8(1&1&1&1@1&2&3&4@1&4&9&16@1&8&27&64)| ○ 原式=(2−1)(3−1)(4−1)(3−2)(4−2)(4−3)=12 • 例2：求|■8(1&1&1&1@3&2&1&4@9&4&1&16@27&8&1&64)| ○ 原式=(2−3)(1−3)(4−3)(1−2)(4−2)(4−1)=−12 • 例3：|■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )|=0, a≠b, 求x ○ |■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =|■8(a+b+x&a+b+x&a+b+x@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =(a+b+x)|■8(1&1&1@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =(a+b+x)(a−x)(b−x)(a−b)=0 ○ ⇒x=a or x=b or x=−a−b 4.4 行列式按多行(列)的展开 • 子式 ○ k 行 k 列交叉处组成的行列式 • 子式的余子式 ○ 行列式除去子式的部分，用 M 表示 • 代数余子式 ○ A=(−1)^(i_1+i_2+…+i_k+j_1+j_2+…+j_k ) M • 定理 ○ D=|■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@a_21&a_22&a_23&…&a_2n@a_31&a_32&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=∑_(k 行(列))▒SA ○ 其中 S 为 k 阶子式，A 为 n−k 阶代数余子式 • 例：|■8(2&3&0&0@1&2&3&0@0&1&2&3@0&0&1&2)| 按照前两行展开 ○ 原式=|■8(2&3@1&2)| (−1)^(1+2+1+2) |■8(2&3@1&2)|+|■8(2&0@1&3)| (−1)^(1+2+1+3) |■8(1&3@0&2)|+0+0+0+0 ○ =1×1+6×(−2)=−11](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2017/08/img_59807309d608b.png)