July 1, 2017 - Shawn Zhong

$7.1 矩阵的概念 • 定义 ○ (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ m×n 矩形的阵，记作 A_(m×n) ○ a_ij (i=1…m,j=1…n) 称为矩阵的元素 • 历史 ○ 英国数学家 Sylvester 在1851年首先提出 Matrix • 表示 ○ A_(m×n)=(a_ij )_(m×n) ○ B_(p×q)=(b_ij )_(p×q) ○ 下标可以省略 • 注意点 ○ 零矩阵：a_ij=0 (i=1…m,j=1…n) ○ 非负矩阵：a_ij≥0 (i=1…m,j=1…n) ○ 方阵：n×n 的矩阵 ○ 行向量：1×n 的矩阵 ○ 列向量：n×1 的矩阵 7.2 矩阵的线性运算 • 定义：相等 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A=B⇔┴def {█(m=p@n=q@a_ij=b_ij )┤ • 定义：加法 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A+B=┴def (a_ij+b_ij )_(m×n) • 加法的性质 ○ 结合律 § (A+B)+C=A+(B+C) ○ 交换律 § A+B=B+A ○ 分配律 § 需要两种运算，暂略 ○ 负矩阵 § −A=┴def (−a_ij )_(m×n) § A+(−A)=0 ○ 单位元（0） § A+0=A • 定义：减法 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A−B=┴def A+(−B) • 定义：数乘（数量乘法） ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , k∈R ○ kA=(〖ka〗_ij )_(m×n) • 数乘的性质 ○ 结合律 § (kl)A=k(lA) ○ 交换律 § kA=Ak § 但无所谓“交换”，一般将数量放在矩阵前面 ○ 分配律（对数的加法分配） § (k+l)A=kA+lA ○ 分配律（对矩阵加法分配） § k(A+B)=kA+kB ○ 单位元（1） § 1A=A 7.3 线性空间 • 矩阵满足的性质：对于矩阵A_(m×n) , B_(m×n) , C_(m×n) 1. (A+B)+C=A+(B+C) 2. A+B=B+A 3. A+(−A)=0 4. A+0=A 5. (kl)A=k(lA) 6. (k+l)A=kA+lA 7. k(A+B)=kA+kB 8. 1A=A • 定义：线性空间 ○ • 线性空间的例子 ○ 所有 m×n 矩阵 ○ 所有 n 维向量 ○ 所有一元多项式 § 所有次数 ≤n 的一元多项式是线性空间 § 所有次数 n 的一元多项式不是线性空间，因为对加法不封闭$

$8.1 矩阵乘法的定义 • 引例 ○ 点 (x,y) 绕原点旋转 θ_1 后到 (x^′,y^′ ) ○ 则 (x,y) 和 (x^′,y^′ ) 满足关系{█(x=a_11 x^′+a_12 y′@y=a_21 x^′+a_22 y′)┤ 系数矩阵表示为 (■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )) ○ 点 (x′,y′) 再绕原点旋转 θ_2 后到 (x^′′,y^′′ ) ○ 则 (x′,y′) 和 (x^′′,y^′′ ) 满足关系{█(x′=b_11 〖x^′〗^′+b_12 y′′@y′=b_21 x^′′+b_22 y′′)┤ 系数矩阵表示为 (■8(b_11&b_12@b_21&b_22 )) ○ 要求 (x,y) 和 (〖x′〗^′,y^′′ ) 之间的关系 ○ 我们可以联立{█(x=a_11 x^′+a_12 y′@y=a_21 x^′+a_22 y′)┤ 和 {█(x′=b_11 〖x^′〗^′+b_12 y′′@y′=b_21 x^′′+b_22 y′′)┤ ○ 解得 {█(x=(a_11 b_11+a_12 b_21 ) x^′′+(a_11 b_12+a_12 b_22 )y′′@y=(a_21 b_11+a_22 b_22 ) x^′′+(a_21 b_12+a_22 b_22 )y′′)┤ ○ 用系数矩阵表示为 (■8(a_11 b_11+a_12 b_21&a_11 b_12+a_12 b_22@a_21 b_11+a_22 b_22&a_21 b_12+a_22 b_22 )) ○ 故先做矩阵变换 (■8(a_11&a_12@a_21&a_22 ))，再做矩阵变换(■8(b_11&b_12@b_21&b_22 )) ○ 等价于做矩阵变换(■8(a_11 b_11+a_12 b_21&a_11 b_12+a_12 b_22@a_21 b_11+a_22 b_22&a_21 b_12+a_22 b_22 )) • 定义：矩阵乘法 ○ A=(a_ij )_(m×l) B=(b_ij )_(l×n) C=(c_ij )_(m×n) ○ AB=┴def C ○ c_ij=a_i1 b_1j+a_i2 b_2j+…a_il b_lj=∑_(k=1)^l▒〖a_ik b_kj 〗 • 例1：A=(■8(1&2@2&3@3&1))_(3×2), B=(■8(1&1&0@0&1&0))_(2×3) ○ AB=(■8(1&2@2&3@3&1))(■8(1&1&0@0&1&0))=(■8(1&3&0@2&5&0@3&4&0))_(3×3) ○ BA=(■8(1&1&0@0&1&0))(■8(1&2@2&3@3&1))=(■8(3&5@2&3))_(2×2) ○ ∴AB≠BA • 例2：A=(■8(1&2@3&4)), B=(■8(1&1@0&1)) ○ AB=(■8(1&3@3&7)) ○ BA=(■8(4&6@3&4)) ○ ∴AB≠BA • 例3：A=(■8(1&2@3&4)), B=(■8(1@1)) ○ AB=(■8(3@7)) ○ BA 未定义 • 例4：A=(■8(1&2@3&4)),B=(■8(1&0@0&1)) ○ AB=BA=(■8(1&2@3&4)) 8.2 矩阵乘法的性质 • 不满足交换律 ○ 一般情况下 AB≠BA （亦有可能未定义） ○ 若 AB=BA 则 A, B 可交换 ○ 例：问所有与 B=(■8(0&1@0&0)) 可交换的矩阵 § 设 A_(2×2)=(■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )) 满足 AB=BA § 则有(■8(0&a_11@0&a_21 ))=(■8(a_21&a_22@0&0)) § ⇒{█(a_21=0@a_11=a_22 )⇒A=(■8(a_11&a_12@0&a_11 ))┤ ○ 注：可交换矩阵必为方阵，且方阵的规模相同 § A_(m×n) B_(p×q) § 若乘法交换律 A_(m×n) B_(p×q)=B_(p×q) A_(m×n) 成立 § 则 {█(A_(m×n) B_(p×q) 存在@B_(p×q) A_(m×n) 存在@左=右)┤⇒{█(n=p@p=q@m=p@q=n)⇒m=n=p=q┤ • 满足结合律 ○ 数乘 § (kA)B=A(kB)=k(AB) § 显然成立，证明略 ○ 三矩阵相乘 § (AB)C=A(BC) ○ 证明三矩阵相乘结合律：(AB)C=A(BC) § 为使得运算成立，假设 A_(m×s) B_(s×t) C_(t×n) § 左通项=∑_(l=1)^t▒((∑_(k=1)^s▒〖a_ik b_kj 〗) c_lj ) =∑_(k=1)^s▒∑_(l=1)^t▒〖〖a_ik b〗_il c_lj 〗 § 右通项=∑_(k=1)^s▒(a_ik (∑_(l=1)^t▒〖b_il c_lj 〗)) =∑_(k=1)^s▒∑_(l=1)^t▒〖〖a_ik b〗_il c_lj 〗 § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ • 满足分配律 ○ A(B+C)=AB+AC ○ (B+C)A=BA+CA ○ 证明矩阵乘法分配律：A(B+C)=AB+AC § 为使得运算成立，假设 A_(m×l) B_(l×n) C_(l×n) § 左通项=∑_(k=1)^l▒〖a_ik (b_kj+c_kj)〗=∑_(k=1)^l▒〖a_ij b_kj 〗+∑_(k=1)^l▒〖a_ij c_kj 〗 § 右通项=∑_(k=1)^l▒〖a_ij b_kj 〗+∑_(k=1)^l▒〖a_ij c_kj 〗 § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ • 不满足消去律 ○ AB=0 ⇏ A=0 or B=0 § A=(■8(2&4@−3&−6)), B=(■8(−2&−4@1&−2)) § AB=(■8(2&4@−3&−6))(■8(−2&−4@1&−2))=(■8(0&0@0&0)) ○ AC=BC ⇏ A=B § A=(■8(1&2@0&3)), B=(■8(1&0@0&4)), C=(■8(1&1@0&0)) § AC=BC=(■8(1&1@0&0)) 8.3 矩阵的其他运算 • 转置 ○ 例子 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 ))_(2×3)⇒A^T=(■8(a_11&a_21@a_12&a_22@a_13&a_23 ))_(3×2) ○ 定义 § A=(a_ij )_(m×n) A^T=(b_ij )_(n×m) § b_ij=a_ji, {█(i=1…n@b=1…m)┤ ○ 转置的性质 1. (A^T )^T=A 2. (A+B)^T=A^T+B^T 3. (kA)^T=〖k(A〗^T) 4. (AB)^T=B^T A^T ○ 性质4的证明 § 为使得运算成立，假设 A=(a_ij )_(m×l), B=(b_ij )_(l×n) § 左通项=∑_(k=1)^l▒〖a_jk b_ki 〗 § 右通项=∑_(k=1)^l▒〖b_ki a〗_jk § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ ○ 性质4的推广 (ABC)^T=C^T (AB)^T=C^T B^T A^T • 定义：向量的内积和外积 ○ x=(x_1,x_2…x_n )^T, y=(y_1,y_2…y_n )^T ○ 内积：x^T y=(x_1,x_2…x_n )(■8(y_1@y_2@⋮@y_n ))=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n ○ 外积：y^T x=(■8(x_1 y_1&x_1 y_2&…&x_1 y_n@x_2 y_1&x_2 y_2&…&x_2 y_n@⋮&⋮&⋮&⋮@x_n y_1&x_n y_2 &…&x_n y_n )) • 方阵的幂 ○ 定义 § A^k=(AA…A)┬共k个 ○ 方阵幂的性质 1. A^(k_1 ) A^(k_2 )=A^(k_1+k_2 ) 2. (A^(k_1 ) )^(k_2 )=A^(k_1 k_2 ) 3. (AB)^k≠A^k B^k ○ 性质3的反例（k=2） § A=(■8(0&1@2&3)), B=(■8(1&1@1&0)) § A^2=(■8(2&3@6&11)), B^2=(■8(2&1@1&1)) § AB=(■8(1&0@5&2)), (AB)^2=(■8(1&0@15&4)) § A^2 B^2=(■8(7&5@23&17)) § ⇒(AB)^2≠A^2 B^2 § 由矩阵不满足交换律决定 • 方阵的行列式 ○ 记法 § |A| 或 det⁡(A) ○ 方阵的行列式的性质 1. |A^T |=|A| 2. |kA|=k^n |A| 3. |A+B|≠|A|+|B| 4. |AB|=|A||B| 5. |A^k |=|A|^k 6. |A_1 A_2…A_n |=|A_1 ||A_2 |…|A_n | 7. |AB|=|BA| (若均存在) ○ 性质2的例子 § |A_(3×3) |=2 § |−2A|=(−2)^3 |A|=−16 ○ 性质4的证明（大致思路） § 假设 A=(a_ij )_(n×n), B=(b_ij )_(n×n) § 构造 D=(■8(a_11&…&a_1n&0&…&0@⋮&⋱&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&…&a_nn&0&…&0@−1&…&0&b_11&…&b_1n@⋮&⋱&⋮&⋮&⋱&⋮@0&…&−1&b_n1&…&b_nn )) § 简单可证 |D|=|A||B|=|AB|$

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