July 7, 2017 - Shawn Zhong

第15讲向量

$15.1 向量及其线性运算 • 什么是向量 ○ 向量 = 矢量 = vector ○ 物理：有大小、方向的量 ○ 几何：有向线段 ○ 代数：有序数组 • 向量的表示 ○ 粗体：α, β, γ ○ 箭头：α ⃗, β ⃗, γ ⃗ ○ 行向量(几何,物理)：α ⃗=(a_1,a_2…a_n ) ○ 列向量(代数)：β ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n ))=(b_1…b_n )^T • 注 ○ 零向量：0 ⃗=(0…0)^T ○ 负向量：−α ⃗=(−a_1,−a_2…〖−a〗_n ) ○ 相等、加法、数乘与矩阵相同 • 线性空间：所有 n 维向量组成的集合，记作 Rn，又称为向量空间 ○ 可定义加法，数乘（对加法、数乘封闭） § α ⃗, β ⃗∈Rn⇒α ⃗+β ⃗∈Rn § k∈R⇒kα ⃗∈Rn ○ 八条性质 1. α ⃗+β ⃗=β ⃗+α ⃗ 2. (α ⃗+β ⃗ )+γ ⃗=α ⃗+(β ⃗+γ ⃗ ) 3. α ⃗+(−α ⃗ )=0 ⃗ 4. α ⃗+0 ⃗=α ⃗ 5. (kl) α ⃗=k(lα ⃗ ) 6. (k+l) α ⃗=kα ⃗+lα ⃗ 7. k(α ⃗+β ⃗ )=kα ⃗+kβ ⃗ 8. 1α ⃗=α ⃗ • 线性子空间：S 是线性空间，且 S⊂Rn ○ 自然满足第1，2，5，6，7，8条性质 ○ 需要验证第3，4条性质，以及是否对加法、数乘封闭，即 § α ⃗∈S⇒┴?−α ⃗∈S § 0 ⃗∈S § α ⃗, β ⃗∈S⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S § α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S ○ 由于后两条包含了前两条，故只需验证 § {█(α ⃗, β ⃗∈S ⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S@α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S)┤ 15.2 向量的点积与叉积 • 点积（内积，点乘） ○ 定义 § α ⃗=(a_1,a_2…a_n )^T, β ⃗=(b_1,b_2…b_n )^T § α ⃗⋅β ⃗=∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n § α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^T β=(a_1,a_2…a_n )(■8(b_1@b_2@⋮@b_n ))=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n ○ 性质 § 交换律：α ⃗⋅β ⃗=β ⃗⋅α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )⋅β ⃗=α ⃗⋅(kβ ⃗ )=k(α ⃗⋅β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )⋅γ ⃗=α ⃗⋅γ ⃗+β ⃗⋅γ ⃗ § α ⃗⋅α ⃗=α ⃗^2≥0 § (α ⃗+β ⃗ )^2=α ⃗^2+β ⃗^2+2α ⃗⋅β ⃗ • 向量的长度（范数） ○ 定义 § ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗^2 )=√(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ) § ‖(■8(AB)) ⃗ ‖=√((x_B−x_A )^2+(y_B−y_A )^2+(z_B−z_A )^2 ) ○ 性质1：‖■8(α ⃗ )‖≥0 § ‖■8(α ⃗ )‖=0⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 性质2：‖■8(kα ⃗ )‖=|k|⋅‖■8(α ⃗ )‖ § 证明略 ○ 性质3：|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § 柯西-施瓦茨不等式 § 施瓦茨不等式 § 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § |∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗|≤√(∑_(i=1)^n▒a_i^2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i^2 ) § 构造 γ ⃗=α ⃗+kβ ⃗ (k∈R § 则 γ ⃗^2=(α ⃗+kβ ⃗ )^2=α ⃗^2+k^2 β ⃗^2+2kα ⃗⋅β ⃗≥0 恒成立 § 看作以 k 为未知数的方程，有 Δ=(2α ⃗⋅β ⃗ )^2−4α ⃗^2⋅β ⃗^2≤0 § (α ⃗⋅β ⃗ )^2≤α ⃗^2⋅β ⃗^2 § ⇒|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § （亦可用用均值不等式证明） • 向量的夹角 ○ 定义 § 根据余弦定理 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § 又因为 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=(■8(α ⃗−β ⃗ ))^2=α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^2+β ⃗^2+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ （此为几何学的内积定义） § ⇒cos⁡θ=(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ § （柯西不等式保证了−1≤(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ ≤1 ○ 正交（垂直） § θ=π/2⇔α ⃗⋅β ⃗=0 • 叉积（在 R3 中） ○ 几何定义 § {█(大小:‖■8(γ ⃗ )‖=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ sin⁡θ@方向:通过右手法则判断)┤⇒α ⃗×β ⃗=γ ⃗ ○ 代数定义 § α ⃗×β ⃗=(|■8(a_2&a_3@b_2&b_3 )|,−|■8(a_1&a_3@b_1&b_3 )|,|■8(a_1&a_2@b_1&b_2 )|) § α ⃗×β ⃗=|■8(i ̂&j ̂&k ̂@a_1&a_2&a_3@b_1&b_2&b_3 )|, 其中{█(i ̂=(1,0,0)@j ̂=(0,1,0)@k ̂=(0,0,1))┤ ○ 性质 § 反交换律：α ⃗×β ⃗=−β ⃗×α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )×β ⃗=α ⃗×(kβ ⃗ )=k(α ⃗×β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )×γ ⃗=α ⃗×γ ⃗+β ⃗×γ ⃗ 15.3 空间中的直线与平面 • 空间中的直线 ○ 已知空间内一点 P，以及方向 α ⃗，假设直线上有一点 P_0 ○ 则直线方程可以用向量形式写为 § P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ (k∈R) ○ 也可以写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),α ⃗=(a_1,a_2,a_3) ○ 可以得到直线的参数方程（显式） § {█(x=x_0+ka_1@y=y_0+ka_2@z=z_0+ka_3 )┤ ○ 将 k 约去可以得到直线的标准方程（隐式） § (x−x_0)/a_1 =(y−y_0)/a_2 =(z−z_0)/a_3 • 例1：求过空间内两点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2) 的直线方程 ○ α ⃗=(P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ○ ⇒P ⃗=(P_1 ) ⃗+k((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) ○ ⇒{█(x=x_1+k(x_2−x_1)@y=y_1+k(y_2−z_1)@z=z_1+k(z_2−z_1))┤ ○ ⇒(x−x_1)/(x_2−x_1 )=(y−y_1)/(y_2−y_1 )=(z−z_1)/(z_2−z_1 ) • 空间中的平面 ○ 确定一个平面需要平面上一个点 P_0 和该平面的法向量 β ⃗ ○ 则平面的方程可以用向量表示为 § (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 ○ 写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),β ⃗=(b_1,b_2,b_3 ) ○ 可以得到平面方程的标准形式（点法式） § b_1 (x−x_0 )+b_2 (y−y_0 )+b_3 (z−z_0 )=0 ○ 展开后可以得到平面的一般方程 § b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0 § 其中 c=−〖b_1 x〗_0−b_2 x_0−b_3 x_0 • 线性子空间 ○ 直线 § 若空间内的直线过原点 § 则直线方程 P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ 可以化为 P ⃗=kα ⃗ § 对于直线上任意两点 (P_1 ) ⃗=k_1 α ⃗ , (P_2 ) ⃗=k_2 α ⃗ ，可以得到 § (P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗=(k_1+k_2)α ⃗ , t(P_1=) ⃗〖(tk〗_1)α ⃗ § 即过原点的直线方程对加法封闭 § 故过原点的直线是 R3 的子空间 ○ 平面 § 若空间内的平面过原点 § 则平面方程 (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 可以化为 P ⃗⋅β ⃗=0 § 对于平面上任意两点 (P_1 ) ⃗⋅β ⃗=0 , (P_2 ) ⃗⋅β ⃗=0 ，可以得到 § ((P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 , (k(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § 即过原点的平面方程对加法封闭 § 故过原点的平面是 R3 的子空间 • 例2：求过三点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2), P_3 (x_3,y_3,z_3 ) 的平面方程 ○ 法1：克莱姆法则 § {█(b_1 x_1+b_2 y_1+b_3 z_1+c=0@b_1 x_2+b_2 y_2+b_3 z_2+c=0@b_1 x_3+b_2 y_3+b_3 z_3+c=0@b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0)┤ 有非零解 § ⇒|■8(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x&y&z&1)|=0 ○ 法2：向量法 § β ⃗=((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ )×((P_3 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) § =(x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1 )×(x_3−x_1,y_3−y_1,z_3−z_1 ) § =|■8(i ̂&j ̂&k ̂@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=(A_11,A_12,A_13) § (P ⃗−(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § ⇒(x−x_1 ) A_11+(y−y_1 ) A_12+(z−z_1 ) A_13=0 § ⇒|■8(x−x_1&y−y_1&z−z_1@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=0$

第16讲向量组

$16.1 线性组合与线性表示 • 线性方程组用向量形式表示 ○ Ax ⃗=b ⃗ ○ ((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ x_1 (a_1 ) ⃗+…+x_n (a_n ) ⃗=b ⃗ ○ 将 b ⃗ 称为向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性组合 ○ 亦可表述为 b ⃗ 被向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表示（表出） • 定理 ○ 对于 A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )_(m×n), β ⃗=Ax ⃗ ○ 若 r(A)=r(A,β ⃗)，则 β ⃗ 可以被 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表出 • 例1：0 ⃗ 可以被任意向量线性表出 ○ 0 ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 例2：任意 α ⃗∈Rn 可以被 (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0))…(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) ○ α ⃗=(■8(a_1@⋮@a_n ))=a_1 (e_1 ) ⃗+a_2 (e_2 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗ ○ 注： (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 被称为初始单位向量组 • 例3：(a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 可以线性表出 (a_i ) ⃗ ○ (a_i ) ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+…+1⋅(a_i ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 向量组线性表示另一个向量组 ○ 将 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 记作 (B)，(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 记作 (A) ○ 若 (B) 中的每个向量都可以被 (A) 线性表示 ○ 则称 (B) 可以被 (A) 线性表示 • 向量组等价 ○ 反身性：(A) 与 (A) 等价 § (A) 可以用 (A) 线性表示 ○ 对称性：(A) 与 (B) 等价⇔(B) 与 (A) 等价 (A) 可以用 (B) 线性表示 ⇔ (B) 可以用 (A) 线性表示 ○ 传递性：若 (A) 与 (B) 等价，且 (B) 与 (C) 等价，则 (A) 与 C 等价 § 若 (B) 可以被 (A) 线性表示，且 (C) 可以被 (B) 线性表示 § 则 (C) 可以被 (A) 线性表示 ○ 故向量组等价是一种等价关系 16.2 线性相关性 • 定义 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ ○ 若上式存在 k_1…k_n 不全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 若上式解得 k_1…k_n 全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 缩写 ○ 线性相关：Linearly Independent，简写为 LI ○ 线性无关：Linearly Dependent，简写为 LD • 例1：一个向量的相关性 ○ 一个向量 α ⃗ 线性相关 ⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 一个向量 α ⃗ 线性无关 ⇔ α ⃗≠0 ⃗ • 例2：0 ⃗,(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 1⋅0 ⃗+0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ • 例3：两个非零向量 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗ 线性相关 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗=0 ⃗ ○ k_1,k_2 中必有一个不为零，若 k_1≠0 ○ 则 (a_1 ) ⃗=−k_2/k_1 (a_2 ) ⃗ ○ 即两个向量成比例 • 定理 ○ 要判断 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性相关性 ○ 即解齐次线性方程组 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ 有非零解 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 r(A)<n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 r(A)=n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 例4：求向量组 (■8(1@2@−1@5)),(■8(2@−1@1@1)),(■8(4@3@−1@11)) 的线性相关性 ○ 构造 A=(■8(1&2&4@2&−1&3@−1&1&−1@5&1&11))，消为阶梯形得 (■8(1&2&4@0&−5&−5@0&0&0@0&0&0)) ○ r(A)=2<3 • 推论1 ○ (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 是 n 个 n 维向量 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 |A|=0 时，矩阵不满秩，即 r(A)<n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 |A|≠0 时，矩阵满秩，即 r(A)=n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 推论2 ○ 向量个数大于维数，则线性相关 ○ r(A)≤维数<n 16.3 相关性定理 • 定理1 ○ 内容 § 若部分组线性相关，则原向量组线性相关 ○ 证明 § 原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 中取出部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 若部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，即 § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+0⋅(a_(s+1) ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ § 即原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 逆反 § 若原向量组线性无关，则部分组都线性无关 • 定理2 ○ 内容 § 若砍掉部分分量后线性无关，则原向量组线性无关 ○ 逆反 § 原向量组线性相关，则砍掉部分分量后线性相关 ○ 例 § (■8(1@0@5))与(■8(0@1@2))线性无关，由于 (■8(1@0))与(■8(0@1))线性无关 • 定理3 ○ 内容 § 向量组线性相关，则其中至少一个向量可被其他线性表示 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关，则必定存在 § (a_i ) ⃗=k_1 (a_1 ) ⃗+…+k_(i−1) (a_(i−1) ) ⃗+k_(i+1) (a_(i+1) ) ⃗+…k_s (a_s ) ⃗ ○ 证明 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关 § 则 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ 其中必有一个 k_i≠0 § 移项得 (a_i ) ⃗=−k_1/k_i (a_1 ) ⃗…−k_s/k_i (a_s ) ⃗ • 定理4 ○ 内容 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关，加上 β ⃗ 后的向量组 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 则 β ⃗ 可被 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性表出，且表示方法唯一 ○ 证明可以被线性表出 § (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 即 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+k_(s+1) β ⃗=0 ⃗ § 若 k_(s+1)=0，则 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，与题设矛盾 § 即 k_(s+1)≠0 § ⇒β ⃗=−k_1/k_(s+1) (a_1 ) ⃗…−k_s/k_(s+1) (a_s ) ⃗ ○ 证明唯一性 § 若 β ⃗ 有两种表示方法 § β ⃗=l_1 (a_1 ) ⃗+…+l_s (a_s ) ⃗ § β ⃗=m_1 (a_1 ) ⃗+…+m_s (a_s ) ⃗ § 分别相减得 § 0 ⃗=(l_1−m_1 ) (a_1 ) ⃗+…(l_s−m_s ) (a_s ) ⃗ § ∵(a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关 § ∴{█(l_1−m_1=0@⋮@l_s−m_s=0)┤⇒{█(l_1=m_1@⋮@l_s=m_s )┤ § 即 β ⃗ 的表示方法唯一 • 定理5 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 t s，则 (B) 线性相关 ○ 证明略 ○ 逆反 § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 (B) 线性无关，则 t≤s • 推论 ○ 内容 § 若 (B) 与 (A) 等价，且线性无关，则 s=t ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 线性表示 ⇒t≤s § (A) 可以被 (B) 线性表示 ⇒s≤t § 即 s=t$

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