July 13, 2017 - Shawn Zhong

第22讲二次型

$22.1 二次型及其矩阵表示 • 二次型 ○ 二次的齐次多项式 • 两个变元的二次型 ○ 〖ax〗^2+bxy+〖cy〗^2 • n 元二次型的一般形式 ○ a_11 x_1^2+2a_12 x_1 x_2+…+2a_1n x_1 x_n +a_22 x^2+2a_23 x_2 x_3+…+2a_2n x_2 x_n+…+a_nn x_n^2 ○ 共 n+(n−1)+…+1=n(n+1)/2 项 • 二次型矩阵 ○ f=x ⃗^T Ax ⃗ ○ x ⃗=(■8(x_1@⋮@x_n )) ○ 对称矩阵 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_12&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_1n&a_2n&…&a_nn )) 22.2 合同 • 引例 ○ 如何判断〖ax〗^2+2bxy+〖cy〗^2=d 为抛物线或椭圆 ○ 可以通过坐标变换(旋转)消去交叉项 2bxy ○ {█(x=x^′ cos⁡θ−y^′ sin⁡θ@y=x^′ sin⁡θ+y^′ cos⁡θ )┤ ○ 此处取 θ=π/4 得 ○ a^′ x^′2+c^′ y^′2=d^′ ○ 上式被称为二次型的标准形式 ○ 坐标变换用矩阵可以表示为 ○ (■8(x@y))=C(■8(x^′@y^′ )) 其中 |C|≠0 ○ 或写成 x ⃗=Cy ⃗ ○ 则原二次型可以表示为 ○ f=x ⃗^T Ax ⃗=(Cy ⃗ )^T A(Cy ⃗ )=y ⃗^T C^T ACy ⃗ ○ 将 C^T AC 记为 B，则 f=x ⃗^T Bx ⃗ ○ 我们将 A 与 B 之间的关系 B=C^T AC 称为合同 • 定义 ○ 若存在可逆矩阵 C，使得 B=C^T AC ○ 则称 A 与 B 之间的关系为合同(Congruence) • 合同是一种等价关系 ○ 反身性 § A=I^T AI ○ 对称性 § B=C^T AC § ⇒A=(C^T )^(−1) BC^(−1)=(C^(−1) )^T BC^(−1) ○ 传递性 § B=C_1^T 〖AC〗_1, C=C_2^T 〖BC〗_2 § ⇒C=C_2^T 〖C_1^T 〖AC〗_1 C〗_2=(C_1 C_2 )^T A(C_1 C_2 ) • 定理1 ○ 内容 § 对于任意对称矩阵 A，一定存在可逆矩阵 C § 使得 C^T AC=(■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) ○ 证明 § 由对称矩阵的性质得 § 存在正交矩阵 Q，使得 Q^(−1) AQ=Λ § 又因为 Q 为正交矩阵，即 Q^(−1)=Q^T § Q^T AQ=Λ § 其中 Λ=(■(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) 为对角矩阵 • 矩阵的三种等价关系 ○ 等价：B=PAQ ○ 相似：A~B⇔B=P^(−1) AP ○ 合同：A≃B⇔B=C^T AC • 矩阵的三种标准形 ○ 等价：D=(■8(I_r&0@0&0)) ○ 相似：约当标准型 J=(■(J_1&&@&⋱&@&&J_s )) ○ 合同：对角矩阵 (■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) 22.3 二次型的标准形 • 二次型与合同 ○ B=C^T AC=(■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) ○ f=x ⃗^T Ax ⃗→┴( x ⃗=Cy ⃗ ) f=y ⃗^T By ⃗=y ⃗^T y ⃗=a_1 y_1^2+…+a_n y_n^2 • 配方法 ○ 例1：f=x_1^2+x_1 x_2+x_2^2 § f=(x_1+x_2/2)^2+3/4 x_2^2 § 令 {█(y_1=x_1+x_2/2@y_2=x_2 )┤⇒{█(x_1=y_1−y_2/2@x_2=y_2 )┤ § ⇒C=(■8(1&−1/2@0&1)) § 即 f=y_1^2+3/4 y_2^2 § 即 A=(■8(1&1/2@1/2&1)) →┴( B=C^T AC ) B=(■8(1&0@0&3/4)) ○ 例2：f=2x_1 x_2−6x_2 x_3+2x_1 x_3 § 令 {█(x_1=y_1+y_2@x_2=y_1−y_2@x_3=y_3 )┤,即 x ⃗=C_1 y ⃗ § f=2(y_1^2−y_2^2 )−6(y_1−y_2 ) y_3+2(y_1+y_2 ) y_3 § 再令 {█(z_1=…@z_2=…@z_3=…)┤,即 y ⃗=C_2 z ⃗ § ⇒x ⃗=(C_1 C_2 ) z ⃗=(■8(1&1&3@0&−1&−1@0&0&1)) z ⃗ § 即 A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) →┴( B=C^T AC ) B=(■(2&&@&−2&@&&6)) • 初等变换法 ○ 原理 § C^T AC=(■(a_1&&@&⋱&@&&a_n )) § C=IP_1 P_2…P_s § C^T AC=P_S^T P_(S−1)^T…P_2^T P_1^T AP_1 P_2…P_s § 即先对 A 做初等列变换，再做相应的初等行变换 § 构造 (■8(A@I))_(2n×n) 做一系列初等变换可以得到 (■8(B@C)) ○ 例：f=2x_1 x_2−6x_2 x_3+2x_1 x_3 § A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) § 构造 (■8(A@I))=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0@1&0&0@0&1&0@0&0&1)) § (■8(A@I)) →┴(c_1+=c_2 ) (■8(1&1&1@1&0&−3@−2&−3&0@1&0&0@1&1&0@0&0&1)) →┴(r_1+=r_2 ) (■8(2&1&−2@1&0&−3@−2&−3&0@1&0&0@1&1&0@0&0&1)) (→┴(c_2−=1/2 c_1 ))┬(c_3+=c_1 ) (■8(2&0&0@1&−1/2&−2@−2&−2&−2@1&−1/2&1@1&1/2&1@0&0&1)) (→┴(r_2−=1/2 r_1 ))┬(r_3+=r_1 ) (■8(2&0&0@0&−1/2&−2@0&−2&−2@1&−1/2&1@1&1/2&1@0&0&1)) →┴(c_3−=4c_2 ) (■8(2&0&0@0&−1/2&0@0&−2&6@1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)) →┴(r_3−=4r_2 ) (■8(2&0&0@0&−1/2&0@0&0&6@1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)) § 即 C=(■8(1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)), B=(■(2&&@&−1/2&@&&6)) ○ 注：标准形不唯一 22.4 二次型的规范形 • 标准形不唯一 ○ 观察到上题中 A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) 可以化为两种标准形 ○ A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) →┴(C=(■8(1&1&3@0&−1&−1@0&0&1)) ) B=(■(2&&@&−2&@&&6)) ○ A=(■8(0&1&1@1&0&−3@1&−3&0)) →┴(C=(■8(1&−1/2&3@1&1/2&−1@0&0&1)) ) B=(■(2&&@&−1/2&@&&6)) • 二次型的规范形 ○ f=d_1 y_1^2+…+d_p y_p^2−d_(p+1) y_(p+1 )^2…−d_r y_r^2+0y_(r+1)^2+…0y_n^2 ○ 令 z_1=√(d_1 ) y_1, z_2=√(d_2 ) y_2…z_r=√(d_r ) y_r ○ 代入得 f=z_1^2+…z_p^2−z_(p+1)^2…−z_r^2 ○ 上式被称为二次型的规范形，其中 z_i 的系数为 ±1 • 西尔维斯特惯性定理 ○ 若 A 对称，则 A≃(■(I_p&&@&−I_(r−p)&@&&0)) ○ p：正惯性指标 ○ r−p：负惯性指标 ○ r：矩阵 A 的秩$

第23讲正定二次型

$23.1 二次型的有定性 • 定义 ○ 二次型 f(x ⃗ )=x ⃗^T Ax ⃗，对于任意 x≠0 ○ 若 f(x ⃗ )0 恒成立，则称为正定 ○ 若 f(x ⃗ )<0 恒成立，则称为负定 ○ 若 f(x ⃗ )≥0 恒成立，则称为半正定 ○ 若 f(x ⃗ )≤0 恒成立，则称为半负定 ○ 以上统称为有定 ○ 若 f(x ⃗ )0 也可 f(x ⃗ )<0 则成为不定 • 例子 ○ 正定：f=x_1^2+x_2^2 , A=(■8(1&0@0&1)) ○ 负定：f=−x_1^2−x_2^2 , A=(■8(−1&0@0&−1)) ○ 半正定：f=x_1^2+2x_1 x_2+x_2^2 , A=(■8(1&1@1&1)) ○ 半负定：f=−x_1^2−2x_1 x_2−x_2^2 , A=(■8(−1&−1@−1&−1)) ○ 不定：f=x_1^2−x_2^2 , A=(■8(1&0@0&−1)) 23.2 正定性的判定 • 正定矩阵 ○ 必须是对称矩阵 ○ 对应的二次型是正定二次型 • 定理1：合同矩阵由相同有定性 ○ B=C^T AC ○ 任取 y ⃗≠0 ○ y ⃗^T By ⃗=y ⃗^T C^T ACy ⃗=(Cy ⃗ )^T A(Cy ⃗ ) ○ ∵y ⃗≠0,(Cy ⃗ )≠0, A 是正定矩阵 ○ ∴y ⃗^T By ⃗0 • 定理2：对角矩阵 (■(d_1&&@&⋱&@&&d_n )) 正定 ⇔d_i0 (i=1…n) ○ f=d_1 y_1^2+…+d_n y_n^2 • 定理3：A 对称且正定⇔A 的规范形为 I⇔A≃I⇔A=C^T C ○ A≃(■(I_p&&@&−I_(r−p)&@&&0)) ○ ∵对角线上的元素均大于零 ○ ∴r=p=n • 推论1：A 正定⇔r=p=n ○ 证明见定理3 • 推论2：A 正定⇒|A|0 ○ A=C^T C ○ |A|=|C^T C|=|C^T ||C|=|C|^2 ○ ∵C 可逆, 即 |C|0 ○ ∴|A|0 ○ 反之不成立：(■(1&&@&−1&@&&−1)) • 定理4：A 对称且正定⇔A 的所有特征值都是正的 ○ Q^T AQ=(■8(λ_1&&@&⋱&@&&λ_n )) • 顺序主子式 ○ (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ○ |A_1 |=a_11 ○ |A_2 |=|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )| ○ |A_k |=|■(a_11&⋯&a_1k@⋮&&⋮@a_k1&…&a_kk )| ○ |A_n |=|A| • 定理5：A 正定⇔A 的顺序主子式0 • 例：判断 A=(■8(1&1&2@1&2&3@2&3&6)) 的正定性 ○ |A_1 |=10 ○ |A_2 |=|■8(1&1@1&2)|=10 ○ |A_3 |=|A|=10 ○ 故 A 正定 23.3 正定性的应用 • 求极值 ○ 对于 n 元函数 f(x_1,…,x_n ) ○ f((x_0 ) ⃗+h⃗ )=f((x_0 ) ⃗ )+1/1! ∑_(i=1)^n▒〖f_i ((x_0 ) ⃗ ) hi 〗+1/2! ∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖f_ij ((x_0 ) ⃗+θh⃗ ) hi hj 〗+… ○ 其中 f_i=∂f/(∂x_i ), f_ij=(∂^2 f)/(∂x_i ∂x_j ) ○ 要求 f((x_0 ) ⃗) 的极值，首先需满足 f_i ((x_0 ) ⃗ )=0 (i=1…n)，即 (x_0 ) ⃗ 为驻点 ○ f((x_0 ) ⃗+h⃗ )=f((x_0 ) ⃗ )+1/2! (h1,…,hn )H(■8(h1@⋮@hn ))+… ○ 其中 H((x_0 ) ⃗ )=(■8(f_11&f_12&…&f_1n@f_21&f_22&…&f_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@f_n1&f_n2&…&f_nn )) 被称为海赛矩阵 • 定理 ○ H((x_0 ) ⃗ ) 正定⇒f((x_0 ) ⃗ ) 为极小值 ○ H((x_0 ) ⃗ ) 负定⇒f((x_0 ) ⃗ ) 为极大值 ○ H((x_0 ) ⃗ ) 不定⇒f((x_0 ) ⃗ ) 不是极值 • 例：求 f(x_1,x_2,x_3 )=x_1+x_2−e^(x_1 )−e^(x_2 )+2e^(x_3 )−e^(x_3^2 ) 的极值 ○ {█(f_1=1−e^(x_1 )=0@f_2=1−e^(x_2 )=0@f_3=2e^(x_3 )−2x_3 e^(x_3^2 )=0)┤⇒{█(x_1=0@x_2=0@x_3=1)┤⇒驻点 (x_0 ) ⃗=(■8(0@0@1)) ○ H=(■8(−e^(x_1 )&0&0@0&−e^(x_2 )&0@0&0&2e^(x_3 )−2e^(x_3^2 )−4x_3^2 e^(x_3^2 ) )) ○ H((x_0 ) ⃗ )=(■(−1&&@&−1&@&&−4e)) 负定 ○ 故驻点 (x_0 ) ⃗=(■8(0@0@1)) 为极大值$

第24讲线性空间(一)

$24.1 线性空间的定义 • 线性空间最一般的定义 ○ 非空集合 V 和数域 P (一般为R ○ 可定义加法（对加法封闭） § α, β∈V⇒α+β∈V ○ 可定义数乘（对数乘封闭） § α∈V,k∈P⇒kα∈V ○ 八条性质 1. α+β=β+α 2. (α+β)+γ=α+(β+γ) 3. α+(−α)=0 4. α+0=α 5. (kl)α=k(lα) 6. (k+l)α=kα+lα 7. k(α+β)=kα+kβ 8. 1α=α • 进一步的性质 ○ 消去律：α+β=α+γ⇒β=γ § α+β=α+γ § −α+α+β=−α+α+γ § β=γ ○ 零向量唯一 § 假设由两个零向量 0_1 和 0_2 § 则 0_1+0_2=0_1=0_2 § 故零向量唯一 ○ 负向量唯一 § 假设 α+β=0, α+γ=0 § 法一：消去率 § 法二：β=β+0=β+α+γ=0+γ=γ ○ 0α=0 ⃗ § α+0α=(1+0)α=α+0 ⃗ § 根据消去率有 0α=0 ⃗ ○ k0 ⃗=0 ⃗ § k0 ⃗+kα=k(0 ⃗+α)=kα+0 ⃗ § 根据消去率有 k0 ⃗=0 ⃗ ○ (−1)α=−α § (−1)α+α=(−1+1)α=0α=0 ⃗ § 又因为负向量唯一，故 (−1)α=−α ○ kα=0⇒k=0 or a=0 ⃗ § 若 k≠0，则 k^(−1) (kα)=1α=α=0 24.2 维数、基与坐标 • 维数 (dimension) ○ 若 V 中最多有 n 个线性无关的向量 ○ 则称线性空间 V 的维数为 n ○ 记作 dim⁡(V)=n ○ 注 § dim⁡(Rn )=n § 所有 deg≤n 的多项式 R_n [x] 的维数为 n+1 § 所有多项式 R[x] 不在线性空间的讨论范围 • 基 (basis) ○ n 维线性空间内 n 个线性无关的向量（不唯一） • 坐标 (coordinate) ○ 若 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 为一组基 ○ 则 α ⃗, (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 即 α ⃗=k_1 (e_1 ) ⃗+…k_n (e_n ) ⃗ ○ 且 k_1…k_n 唯一 ○ 我们将 (k_1…k_n) 称作坐标 • 例子 ○ ℂ 可以看作是 R 上的线性空间 § 基为 1 和 i § α ⃗=1a+bi∈ℂ (a,b∈R) ○ ℂ 可以看作是 ℂ 上的线性空间 § 基为 1 § α ⃗=1α ⃗∈ℂ (α ⃗∈ℂ) ○ Rn 最常用的一组基为 § (e_1 ) ⃗=(1,0,0…0)^T § (e_2 ) ⃗=(0,1,0…0)^T § ⋮ § (e_n ) ⃗=(0,0,0…1)^T ○ R_n [x] 最常用的一组基为 § 1,x, x^2, x^3…x^n 24.3 线性子空间 • 定义 ○ V 是线性空间，W⊂V ○ 若 W 对于加法、数乘也构成线性空间， • 定理 ○ 若 W⊂V 且 W 对加法、数乘封闭，则 W 为子空间 • 平凡子空间 ○ V ○ {0 ⃗ } • 常用子空间的例子 ○ R_n [x] 是 R[x] 的子空间 ○ Ax ⃗=0 的解集 § 记为 N(A) ，又称零空间 (null space) § 基为基础解系 § 维数为 n−r(A) ○ 生成空间 § 由 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 生成的空间 § {k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗ ┤| k_1…k_s∈R} § 记为 L((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗)$

第25讲线性空间(二)

$25.1 基变换与坐标变换 • 引入 ○ 假设 n 维线性空间 V 有两组基 § (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 和 (e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ ○ 两组基之间有以下关系 § (e_1 ) ⃗^′=a_11 (e_1 ) ⃗+a_21 (e_2 ) ⃗+…a_n1 (e_n ) ⃗ § (e_2 ) ⃗^′=a_12 (e_1 ) ⃗+a_22 (e_2 ) ⃗+…a_n2 (e_n ) ⃗ § ⋮ § (e_n ) ⃗^′=a_1n (e_1 ) ⃗+a_2n (e_2 ) ⃗+…a_nn (e_n ) ⃗ ○ 可讲上式形式上记为 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 其中 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 基变换 ○ ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 可逆矩阵 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ○ A 被称为转移矩阵或过渡矩阵 (transition matrix) • 性质 ○ [((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A]B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(AB) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A+B) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )A=((e_1 ) ⃗+(e_1 ) ⃗^′,…,(e_n ) ⃗+(e_n ) ⃗^′ )A • 坐标变换 ○ 对于 α ⃗∈V，可以分别用两组基来表示 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(■8(a_1@⋮@a_n )) § α ⃗=b_1 (e_1 ) ⃗′+…+b_n (e_n ) ⃗′=((e_1 ) ⃗′…(e_n ) ⃗′)(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ 将 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A 代入得 § α ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A(■8(b_1@⋮@b_n ))=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A(■8(b_1@⋮@b_n ))) ○ 因为同一组基下的坐标表示唯一，有 § (■8(a_1@⋮@a_n ))=A(■8(b_1@⋮@b_n ))⇔(■8(b_1@⋮@b_n ))=A^(−1) (■8(a_1@⋮@a_n )) • 例题 ○ 假设 V=Rn 有两组基 § (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0)),…,(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) § (e_1 ) ⃗^′=(■8(1@1@⋮@1)),(e_2 ) ⃗^′=(■8(0@1@⋮@1)),…,(e_n ) ⃗′=(■8(0@0@⋮@1)) ○ 若 α ⃗ 在两组基下的坐标分别为 (x_1…x_n )^T, (y_1…y_n )^T § 则{█(y_1=x_1@y_1+y_2=x_2@⋮@y_1+…y_n=x_n )⇔{█(y_1=x_1@y_2=x_2−x_1@⋮@y_n=x_n−x_(n−1) )┤┤ ○ 两组基之间的关系为 § ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A § 其中转移矩阵 A=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1)) ○ 故坐标变换为 § (■8(x_1@⋮@x_n ))=A(■8(y_1@⋮@y_n ))=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1))(■8(y_1@⋮@y_n )) § (■8(y_1@⋮@y_n ))=A^(−1) (■8(x_1@⋮@x_n ))=(■(1&&&@−1&1&&@&⋱&⋱&@&&−1&1))(■8(x_1@⋮@x_n )) 25.2 线性空间的同构 • 向量和坐标之间的映射 ○ n 维线性空间 V 有一组基 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ ○ 对于任意 α ⃗∈V 都存在 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗∈V § α ⃗ 的坐标为 (a_1,…,a_n )^T∈Rn ○ 即存在映射 § V→┴σ Rn § α ⃗↦┴σ (a_1,…,a_n )^T ○ 即 σ(α ⃗ )=(a_1,…,a_n )^T ○ 故此映射是一一映上的（一一对应） ○ 且此映射还需满足 ○ 对加法封闭 § α ⃗: (a_1,…,a_n )^T § β ⃗:(b_1…b_n )^T § α ⃗+β ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗+b_1 (e_1 ) ⃗+…+b_n (e_n ) ⃗ § =(a_1+b_1 ) (e_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (e_n ) ⃗ § σ(α ⃗+β ⃗ )=(a_1+b_1,…,a_n+b_n )^T § =(a_1,…,a_n )^T+(b_1…b_n )^T=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) ○ 对数乘封闭 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) § 证明略 • 同构 ○ 数域 P 上的两个线性空间 V,V^′ ○ 若存在一个由 V 到 V′ 的一一对应 σ ○ 使得 σ(α ⃗+β ⃗ )=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) 且 (kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) ○ 则称 V 与 V′ 同构 (Isomorphic) ○ σ 被称为同构映射 (Isomorphism) • 注：任意一个 n 维线性空间 V 都与 Rn 同构 • 同构的性质 ○ σ(0)=0 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=0 ○ σ(−α ⃗ )=−σ(α ⃗ ) § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=−1 ○ 保持线性组合 § σ(k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗ )=k_1 σ((α_1 ) ⃗ )+…+k_s σ((α_s ) ⃗ ) ○ 保持线性相关性 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性相关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性相关 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性无关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性无关 ○ V 与 V′ 同构 ⇔dim⁡(V)=dim⁡(V^′ ) § 证明暂略 ○ 同构映射的逆映射还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ § 先证逆映射对加法封闭 § 即要证 σ^(−1) (σ(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § σ[σ^(−1) (σ\(α ⃗ )+σ(β ⃗))]=σ\(α ⃗)+σ(β ⃗)=σ(α ⃗+β ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (σ\(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § 再证逆映射对数乘封闭 § σ[σ^(−1) (kσ\(α ⃗))]=kσ\(α ⃗)=σ(kα ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (kσ\(α ⃗))=kα ⃗ ○ 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ 和 τ: V^′→〖V^′〗^′ § τ(σ(α ⃗+β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ ))+τ(σ(α ⃗ )) § 证明数乘略 • 定理1：同构是一种等价关系 ○ 反身性：V 与 V 同构 § σ(α ⃗ )=α ⃗ ○ 对称性：若 V 与 V′ 同构，则 V′ 与 V 同构 § 同构映射的逆映射还是同构映射 ○ 传递性：若 V 与 V′ 同构，V′ 与 V′′ 同构，则 V 与 V′′ 同构 § 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 • 定理2：dim⁡(V)=dim⁡(V^′ )⇒ V 与 V′ 同构 ○ n 维线性空间 V 与 Rn 同构 ○ n 维线性空间 V′ 与 Rn 同构 ○ 根据同构的传递性得 V 与 V′ 同构$

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第22讲二次型

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